［参］細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

　　［参］一松信「高次元の正多面体」日本評論社

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【１】特性多項式とスペクトル

　グラフＧが与えられたとき，特性多項式は隣接行列Ａを用いて

　　ＰG（ｘ）＝（−１）^nｄｅｔ｜Ａ−ｘＥ｜

で定義される．

　　ＰG（ｘ）＝０

の解（固有値）をそのグラフのスペクトルという．

　経路グラフと単環グラフの特性多項式の零点は，それぞれ

　　ｘ＝２ｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１））

　　ｘ＝２ｃｏｓ（２ｋπ／ｎ）

と非常にきれいな形になる．後者はの場合，±２以外の貝はすべて２重に縮重している．

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【２】正多面体グラフと特性多項式

　正多面体は単環ではないので，特性多項式を求めるのは大変であるが，結論をいうと

［１］正四面体：ＰG（ｘ）＝ｘ^4−６ｘ^2−８ｘ−３

　　　零点：３，−１，−１，−１

［２］立方体：ＰG（ｘ）＝ｘ^8−１２ｘ^6＋３０ｘ^4−２８ｘ^2＋９

　　　零点：±３，±１，±１，±１

［３］正八面体：ＰG（ｘ）＝ｘ^6−１２ｘ^4−１６ｘ^3

　　　零点：４，０，０，０，−２，−２

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【３】正多面体の基本行列の固有値

　正多面体（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）について，

　　ｃi＝ｃｏｓ（π／ｐi）

とおいて，対角線上に０，その両隣にｃiを並べて，基本行列

　　　　［０，ｃ1 ，０，・・・・・・・，０］

　　　　［ｃ1 ，０，ｃ2 ，０，・・・・，０］

　　Ｃ＝［０，ｃ2 ，０，ｃ3 ，０，・・，０］

　　　　［・・・・・・・・・・・・・・・・］

　　　　［０，・・・・・・・・，０，ｃn-1 ］

　　　　［０，・・・・・・，０，ｃn-1 ，０］

を作る．基本行列は対称な三重対角行列となる．

　固有多項式を

　　Ｐn（ｘ）＝ｄｅｔ｜ｘＥ−Ｃ｜

とおくと，漸化式

　　Ｐn+1（ｘ）＝ｘＰn（ｘ）−ｃn^2Ｐn-1（ｘ），　　ｎ≧２

　　Ｐ1（ｘ）＝１，Ｐ2（ｘ）＝ｘ^2−ｃ1^2

が成り立つ．

　基本行列の固有値，すなわち，Ｐn（ｘ）＝０の根を求めてみると，すべて実単根で，相隣る根の間にＰn-1（ｘ）＝０の根がある．また，根は原点について対称である．

　３次元正多面体（ｐ，ｑ）については，

　　ｘ^3−［ｃｏｓ^2（π／ｐ）＋ｃｏｓ^2（π／ｑ）］ｘ＝０

［１］正四面体：Ｐ3（ｘ）＝ｘ^3−１／２ｘ

　　　零点：０，±１／√２

［２］立方体：Ｐ3（ｘ）＝ｘ^3−３／４ｘ

　　　零点：０，±√３／２

［３］正八面体：Ｐ3（ｘ）＝ｘ^3−３／４ｘ

　　　零点：０，±√３／２

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　ｎ次元正多面体については

［１］正単体：Ｐn（ｘ）＝Ｕn（ｘ）／２^n

　　　零点：ｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１〜ｎ

　　　最大固有値：ｃｏｓ（π／（ｎ＋１））

［２］立方体：Ｐn（ｘ）＝Ｔn（ｘ）／２^n-1

　　　零点：ｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１

　　　最大固有値：ｃｏｓ（π／２ｎ）

［３］正軸体：Ｐn（ｘ）＝Ｔn（ｘ）／２^n-1

　　　零点：ｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１

　　　最大固有値：ｃｏｓ（π／２ｎ）

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