［参］細矢治夫「トポロジカル・インデックス」日本評論社

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【１】トポロジカル・インデックス

　特性多項式は隣接行列Ａを用いて

　　ＰG（ｘ）＝（−１）^nｄｅｔ｜Ａ−ｘＥ｜

で定義される．Ｚが一般の木グラフのとき

　　ＰG（ｘ）＝Σ（−１）^kｐ（Ｇ，ｋ）ｘ^(n-2k)

　特性多項式と密接な関係にあるものに，マッチング多項式

　　ＭG（ｘ）＝Σ（−１）^kｐ（Ｇ，ｋ）ｘ^(n-2k)　　　（ｋ＝０〜［ｎ／２］）

がある．木グラフに関しては，特性多項式とマッチング多項式は同一であるが，非木グラフの場合，両者は異なる．

　頂点数が偶数２ｎのグラフＧのマッチング多項式の定数項は完全マッチング数Ｋ（Ｇ）になっていて，切頂２０面体ではＫ（Ｇ）＝１２５００である．

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［１］Ｇ＝Ｐn（経路グラフ）のとき，

　　ＰG（ｘ）＝Σ（−１）^k（ｎ−ｋ，ｋ）ｘ^(n-2k)＝ＭG（ｘ）

　　ＭG（ｘ）＝Ｓn（ｘ）　　　（第２種変形チェビシェフ多項式）

［２］Ｇが単環グラフのとき，

　　ＰG（ｘ）＝Σ（−１）^k（ｎ−ｋ，ｋ）ｎ／（ｎ−ｋ）ｘ^(n-2k)＝ＭG（ｘ）−２

　　ＭG（ｘ）＝Ｃn（ｘ）　　　（第１種変形チェビシェフ多項式）

［３］Ｇ＝Ｋn（完全グラフ）のとき，マッチング多項式は変形エルミート多項式に等しい

　　ＭG（ｘ）＝ｈn（ｘ）

また，ヤング図の数は完全グラフＫnのトポロジカル・インデックスに等しい．

［４］Ｇ＝Ｋm,n（２部完全グラフ）のとき，マッチング多項式はラゲール多項式に等しい

　　ＭG（ｘ）＝（−１）^mｎ！ｘ^(m-n)／ｍ！・Ｌ（ｘ^2）

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