平面らせんには

ベルヌーイらせん(r=aθ,対数らせん)

アルキメデスらせん(r=aθ)

フェルマーらせん(r=a√θ,放物らせん)

ｒ=a/θ(双曲らせん)

ｒ=a/√θ (ラッパ線)

ｒ=aθ2, r=aθk (代数らせん)

などの種別があるが、代表的な平面らせんといえば、

[a] Bernoulliらせん：r=a^θ

[b] Archimedesらせん：r=aθ

[c] Fermatらせん：r^2=aθ

で、それぞれ、隣接する渦巻きの間隔は原点から遠いほどそれぞれ広くなる・等間隔・狭くなる。

たとえば、対数らせんｒ＝ａ^θの幅は中心から離れるほどが拡大するのに対して、アルキメデスらせんｒ＝ａθは幅が一定の螺線で，それを用いた角の３等分の方法が知られている

フェルマーらせんｒ^2＝ａθの幅は中心から離れるほど小さくなる．フェルマーらせんは形式的には放物線ｙ^2＝ａｘと似ていることから放物らせんとも呼ばれる．．

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[1]対数らせん (等角らせん)

貝のなかには黄金長方形の無限列よりなる対数らせん構造をもったものがある。対数らせんは，アルキメデスのらせんとは違って，一定の割合で間隔が開いていく．

対数らせんには、動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，等角らせんとも呼ばれています．

昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は対数らせんとなります

飛んで火に入る夏の虫というわけである。

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κ(s)=1/as

渦巻状に並ぶ黄金長方形列タイル・・・黄金長方形の無限列 (黄金らせん・フィボナッチらせん))

黄金長方形の辺を1辺とする正方形を描くと，さらに大きな黄金長方形ができる．正方形内に１／４円弧を描く．この手順は無限に繰り返すことができて，黄金らせんに近いらせんを作ることができる（純粋な黄金らせんではない）．

これはフィボナッチ数を視覚的に表す有名な方法である

フィボナッチ数を使って、黄金長方形をまねることもできる。最初の正方形の1辺の長さを１として、

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144、・・・

の正方形をくっつけるのである。この長方形は黄金長方形の有限版であると考えることができる。

実際にみられる黄金らせんの例として，オウムガイの殻がある．殻の中で成長するにつれて殻も伸びていき，成長しても浮力が一定に保たれるのである．

黄金らせんは成長してもその形であって，ヤコブ・ベルヌーイはこのらせんがとても気に入っていた．そして，自分の墓碑銘に黄金らせんを刻むように頼んだという．

しかし，石工は黄金らせん（ベルヌーイのらせん,ｒ＝ａ^θ）を間違って，アルキメデスのらせんｒ＝ａθを刻んでしまったというこぼれ話が残されている．

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対数らせんのインボリュートは合同な対数らせんである

正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は等角らせんで、 犬の進む経路と正方形の１辺の長さは等しい

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