天文学者のケプラーはその著書「宇宙の神秘」において，幾何学の２つの至宝と称してピタゴラスの定理と黄金比φをあげています．ピタゴラスの定理からは立方体，正四面体，正八面体，黄金比からは正十二面体と正二十面体が作られると考えて，そのように述べているのです．

　３辺の長さ比が１：√φ：φの直角三角形はケプラー三角形として知られています．

　　１^2＋ｘ^2＝φ^2　→　ｘ＝√（φ^2−１）＝√φ

　ケプラー三角形には，ピタゴラスの定理と黄金比という数学的に重要なコンセプトは２つ含まれているというわけです．

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ケプラー三角形は辺の長さの比が等比級数をなす直角三角形ですが、辺の長さの比が等比級数をなす直方体を考えてみましょう。

辺の長さを1/x:1:xとします。直方体の体積は1となります。このとき、対角線の長さを2とすると

x^2+1+1/x^2=4

x^2+1/x^2=3

(x-1/x)^2=1

x-1/x=1

x^2-x-1=0→x=φ,y=1,z=1/φ（すなわち黄金直方体)

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