正(n-1)角形を回転させたときの固定子を求めてみたい。

もしかすると頂点の動きだけを計算すればよいのかもしれないが、面倒がらずに包絡線を計算してみると・・・

回転方向を逆にしてみたい。

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[X]=[cos(-t),-sin(-t)][x]+[ecos(n-1)t]

[Y]=[sin(-t)t,cos(-t)t][y]+[esin(n-1)t]

[X]=[cos(t),+sin(t)][x]+[ecos(n-1)t]

[Y]=[-sin(t)t,cos(t)t][y]+[esin(n-1)t]

x=s,y=-R

X=scost-Rsint+ecos(n-1)t

Y=-ssint-Rcost+esin(n-1)t

dx/dt=-ssint-Rcost-(n-1)esin(n-1)t

dy/ds=-sint

dy/dt=-scost+Rsint+(n-1)ecos(n-1)t

dx/ds=cost

(dx/dt)(dy/ds)-(dy/dt)(dx/ds)=0

s=(n-1)ecos(n)t

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X=(n-1)ecos(n)tcost-Rsint+ecos(n-1)t

Y=-(n-1)ecos(n)tsint-Rcost+esin(n-1)t

X=(n-1)e/2{cos(n+1)t+cos(n-1)t}-Rsint+ecos(n-1)t

Y=-(n-1)e/2{sin(n+1)t-sin(n-1)t}-Rcost+esin(n-1)t

X=(n-1)e/2cos(n+1)t+(n+1)e/2cos(n-1)t-Rsint

Y=-(n-1)e/2sin(n+1)t+(n+1)e/2sin(n-1)t-Rcost

x'=-(n-1)(n+1)e/2sin(n+1)t-(n+1)(n-1)e/2sin(n-1)t-Rcost

y'=-(n-1)(n+1)e/2cos(n+1)t+(n+1)(n-1)e/2cos(n-1)t+Rsint

x''=-(n-1)(n+1)^2e/2cos(n+1)t-(n+1)(n-1)^2e/2cos(n-1)t+Rsint

y''=(n-1)(n+1)^2e/2sin(n+1)t-(n+1)(n-1)^2e/2sin(n-1)t+Rcost

x'y''-x''y'より

{R+2(n-1)(n+1)e/2sin(nt)}^2＞0

R=(n-1)(n+1)e

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包絡線の方程式は

X=(n-1)e/2cos(n+1)t+(n+1)e/2cos(n-1)t-Rsint

Y=-(n-1)e/2sin(n+1)t+(n+1)e/2sin(n-1)t-Rcost

R=(n-1)(n+1)e

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