正(n-1)角形を回転させたときの固定子を求めてみたい。

もしかすると頂点の動きだけを計算すればよいのかもしれないが、面倒がらずに包絡線を計算してみると・・・

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[X]=[cost,-sint][x]+[ecos(n-1)t]

[Y]=[sint,cost][y]+[esin(n-1)t]

x=s,y=-R

X=scost+Rsint+ecos(n-1)t

Y=ssint-Rcost+esin(n-1)t

dx/dt=-ssint+Rcost-(n-1)esin(n-1)t

dy/ds=sint

dy/dt=scost+Rsint+(n-1)ecos(n-1)t

dx/ds=cost

(dx/dt)(dy/ds)-(dy/dt)(dx/ds)=0

s=-(n-1)ecos(n-2)t

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X=-(n-1)ecos(n-2)tcost+Rsint+ecos(n-1)t

Y=-(n-1)ecos(n-2)tsint-Rcost+esin(n-1)t

X=-(n-1)e/2{cos(n-1)t+cos(n-3)t}+Rsint+ecos(n-1)t

Y=-(n-1)e/2{sin(n-1)t-sin(n-3)t}-Rcost+esin(n-1)t

X=-(n-3)e/2cos(n-1)t-(n-1)e/2cos(n-3)t+Rsint

Y=-(n-3)e/2sin(n-1)t+(n-1)e/2sin(n-3)t-Rcost

x'=(n-1)(n-3)e/2sin(n-1)t+(n-1)(n-3)e/2sin(n-3)t+Rcost

y'=-(n-1)(n-3)e/2cos(n-1)t+(n-1)(n-3)e/2cos(n-3)t+Rsint

x''=(n-1)^2(n-3)e/2cos(n-1)t+(n-1)(n-3)^2e/2cos(n-3)t-Rsint

y''=(n-1)^2(n-3)e/2sin(n-1)t-(n-1)(n-3)^2e/2sin(n-3)t+Rcost

x'y''-x''y'より

{R-2(n-1)(n-3)e/2sin(n-2)t}^2＞0

R=(n-1)(n-3)e

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包絡線の方程式は

X=-(n-3)e/2cos(n-1)t-(n-1)e/2cos(n-3)t+Rsint

Y=-(n-3)e/2sin(n-1)t+(n-1)e/2sin(n-3)t-Rcost

R=(n-1)(n-3)e

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