【補】ローター曲線

ローターがほぼ直線上になる場合を解析してみたい。

θ=atn(sin(n-2)t/cos(n-2)t+(n-1)/K)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=4、K=4,θ=atn(sin2t/cos2t+3/4)

n=5，K=8,θ=atn(sin3t/cos3t+4/8)

n=5，K=12θ=atn(sin4t/cos4t+5/12)

もし、

θ=atn(sin(n-2)t/cos(n-2)t+1)

ならば、θ=(n-2)t/2となるが、分母はそれより小さいのでθ=(n-1)t/2で近似してみたい。

するとs=t-t=0

x=ecos(n-1)t+Rcost+e

y=esin(n-1)t+Rsint

これがほぼ直線状となるはずである。

R＞＞eより

x=ecos(n-1)t+Rcost+e〜Rcost

y=esin(n-1)t+Rsint〜Rsint

とすると円状になってしまう。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=4のとき

x=cos3t+4cost+1=4(cost)^3+cost+1

y=sin3t+4sint=-4(sint)^3+7sint

n=5のとき

x=cos4t+8cost+1=8(cost)^4-8(cost)^2+8cost+2

y=sin4t+8sint=-8(sint)^3cost+4sintcost+8sint

n=6のとき

x=cos5t+12cost+1=16(cost)^5-20(cost)^3+17cost+1

y=sin5t+12sint=16(sint)^5-20(sint)^3+17sint

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=ecos(n-1)t+Rcost+e

y=esin(n-1)t+Rsint

φ=arccos(-(n-1)/K)

=arccos(-3/4)

=arccos(-4/8)

=arccos(-5/12)

t=φ/(n-2)

はもともとペリトロコイドの直線に近い部分である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

tはπ/(n-2)に近い部分である

x=ecosπ(n-1)/(n-2)+Rcosπ/(n-2)+e

y=esinπ(n-1)/(n-2)+Rsinπ/(n-2)

x=-ecosπ/(n-2)+Rcosπ/(n-2)+e

y=-esinπ/(n-2)+Rsinπ/(n-2)

x=(R-e)cosπ/(n-2)+e

y=(R-e)sinπ/(n-2)

(x-e)^2+y^2=(R-e)^2は半径の大きな円で近似することができる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

s=0としてきたが、実際のプログラムで確認してみたところ

n=4、K=4,s/t=1.865〜0.458

n=5，K=8,s/t=2.214〜0.438

n=5，K=12s/t=2.256〜0.414

s=tとしてみることにする。

x=ecos(n-2)t+ecos(n-2)t＋R

y=esin(n-2)t+esin(n-2)t

x=2ecos(n-2)t＋R

y=2esin(n-2)t

(x-R)^2+y^2=(2e)^2は半径の大きな円で近似することができるになるが、この方法ではほぼ直線状になることを示すことはできない。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

s=2tとしてみることにする。

x=ecos(n-3)t+Rcost+ecos(2n-4)t

y=esin(n-3)t-Rsint+esin(2n-4)t

s=t/2としてみることにする。

x=ecos(n-1.5)t+Rcost/2+ecos(n/2-1)t

y=esin(n-1.5)t+Rsint/2+esin(n/2-1)t

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝