Σａnの絶対値級数Σ｜ａn｜が収束するとき，Σａnは絶対収束するという．また，Σａnは収束するが，Σ｜ａn｜は収束しない級数は，条件収束するという．

　さて，メルカトール級数

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・→ｌｏｇ２　

は調和級数

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・→　＋∞

の交代級数である．この値は対数関数のテイラー展開

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ2 ＋１／３ｘ3 −１／４ｘ4 ＋・・・

においてｘ＝１とおくと得られる．

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ところで，交代級数では，元の級数の項の順番を変えると収束値が変動してしまうことが知られている．たとえば，負項を正項に変えて，あとでその２倍を引くと，

　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・

＝（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）−２（１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・）

＝（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）−（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）

＝０

　また，この交代級数は奇数の逆数と偶数の逆数に−１をかけたものからできているが，足し合わせる順序が違う級数，たとえば，負の項が２つの連続する正の項をはさんで現れる級数：

　　｛１／１＋１／３−１／２｝＋｛１／５＋１／７−１／４｝＋・・・

では３／２ｌｏｇ２に収束する．また，正の項に引き続いて負の項が２つの連続する級数：

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・

は１／２ｌｏｇ２に収束することがわかっている．

（証明）

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・

　　＝１／２ｌｏｇ２を示す．

　与えられた級数は

　Σ｛１／（２ｎ−１）−１／２（２ｎ−１）−１／（２（２ｎ−１）＋２）｝

＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一方，１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２より

１／２ｌｏｇ２＝１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・

　　　　　　　＝（１／２−１／４）＋（１／６−１／８）＋・・・

　　　　　　　＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

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