■約数関数のおおまかな上界と下界(その38)

ω(n)=ln(lnn)+0.2614

Ω(n)=ln(lnn)+1.0346は

Σ(1/2pi^2+1/3pi^3+・・・)や

Σ1/pi(pi-1)=Σ(1/pi^2+1/pi^3+1/pi^4+・・・)

の計算を行って得られたものである。

===================================

lnζ(k)=Σ(1/pi^k+1/2pi^2k+1/3p^3k+・・・)

lnζ(2)=Σ(1/pi^2+1/2pi^4+1/3p^6+・・・)

lnζ(3)=Σ(1/pi^3+ 1/2pi^6+1/3p^9+・・・)

lnζ(4)=Σ(1/pi^4+ 1/2pi^8+1/3p^12+・・・)

lnζ(5)=Σ(1/pi^5+ 1/2pi^10+1/3p^15+・・・)

===================================

Σ(1/2pi^2+1/3pi^3+1/4pi^4+1/5pi^5+・・・)

=1/2・lnζ(2)+1/3・lnζ(3)+1/5・lnζ(3)-1/6・lnζ(6)+・・・

Σ(1/pi^2)=lnζ(2)-1/2・lnζ(4)-1/3・lnζ(6)-///

Σ1/pi(pi-1)=Σ(1/pi^2+1/pi^3+1/pi^4+・・・)

=lnζ(2)+lnζ(3)+1/2・lnζ(4)+lnζ(5)+1/6・lnζ(6)+・・・

Σ(1/pi^2+2/pi^3+3/pi^4+・・・)

=lnζ(2)+2lnζ(3)+5/2・lnζ(4)+・・・

===================================