【３】カントルのミドル・サード集合

［１］単位区間［０，１］を３等分して，中央の区間［１／３，２／３］を取り除く．

［２］残った２つの区間をそれぞれ３等分して中央の区間［１／９，２／９］および［７／９，８／９］を取り除く．

［３］３等分して中央の区間を取り除く操作を無限に繰り返す．

　取り除かれる区間の長さの合計を求めてみよう．

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

は，公比２／３の等比級数であるから

　　１／３＋２・１／９＋４・１／２７＋１６・１／８１＋・・・

→１／３／（１−２／３）＝１

　実際には無限に多くの点が残っているのに，取り除かれる区間の長さに合計は１となって，何の残らないことになる．

　このように，カントル集合は特異な性質をもつ集合の１例である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返す．方眼紙を１枚もってきてこの図形にかぶせ，この図形を覆っているマス目の個数を数える．つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す．もとの図形が線であればマス目の数は２＝２^1倍に，面であればマス目の数は４＝２^2倍に増える．

　マス目の大きさを１／３にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は２倍になるから，

　　３^d＝２→ｄ＝ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝