■カオスとフラクタル(その9)

【3】カントルのミドル・サード集合

[1]単位区間[0,1]を3等分して,中央の区間[1/3,2/3]を取り除く.

[2]残った2つの区間をそれぞれ3等分して中央の区間[1/9,2/9]および[7/9,8/9]を取り除く.

[3]3等分して中央の区間を取り除く操作を無限に繰り返す.

 取り除かれる区間の長さの合計を求めてみよう.

  1/3+2・1/9+4・1/27+16・1/81+・・・

は,公比2/3の等比級数であるから

  1/3+2・1/9+4・1/27+16・1/81+・・・

→1/3/(1−2/3)=1

 実際には無限に多くの点が残っているのに,取り除かれる区間の長さに合計は1となって,何の残らないことになる.

 このように,カントル集合は特異な性質をもつ集合の1例である.

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[0,1]を3等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返す.方眼紙を1枚もってきてこの図形にかぶせ,この図形を覆っているマス目の個数を数える.つぎにマス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返す.もとの図形が線であればマス目の数は2=2^1倍に,面であればマス目の数は4=2^2倍に増える.

 マス目の大きさを1/3にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は2倍になるから,

  3^d=2→d=log2/log3=0.6309・・・

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