【４】ロジスティックモデル（２）

さらに，ロジスティック写像

　　ｘn+1＝ｆ（ｘn）＝ｋｘn（１−ｘn）

を考える．０≦ｘn≦１，０≦ｋ≦４

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［１］固定点

　　ｘ＝ｋｘ（１−ｘ）を満たすから，ｘ＝１−１／ｋ

原点ｘ＝０はすべてのｋに対して固定点

ｘ＝１−１／ｋはｋ≧１に対してのみ，ｘの許容範囲内にある

［２］安定性

　　ｆ’（ｘ）＝ｋ−２ｋｘ

ｆ’（０）＝ｋなので，原点はｋ＜１のとき安定，ｋ＞１のとき不安定

ｘ＝１−１／ｋは

　　ｆ’（１−１／ｋ）＝ｋ−２ｋ（１−１／ｋ）＝−ｋ＋２

より，ｋ＜３のとき安定となる．

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　放物線はｋ＜１ではｙ＝ｘより下にあり，原点が唯一の固定点である．ｋが増加すると放物線の背が高くなり，ｋ＝１のとき，ｙ＝ｘに接する．ｋ＞１になると，放物線は２つ目の固定点で交差し，一方，原点は安定性を失う．

　さらにｋが増加すると固定点ｘ＝１−１／ｋにおける傾きはますます急となり，ｋ＝３のとき，

　　ｆ’（１−１／ｋ）＝ｋ−２ｋ（１−１／ｋ）＝−ｋ＋２

は臨界点ｆ’（１−１／ｋ）＝−１に達して，安定性を失う．

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ｋ＝３では周期倍分岐を伴う．

　　ｘ1＝ｆ（ｘ0）＝ｋｘ0（１−ｘ0）

　　ｘ2＝ｆ（ｘ1）＝ｋｘ1（１−ｘ1）＝ｋ^2ｘ0（１−ｘ0）（１−ｋｘ0（１−ｘ0））

は４次多項式であるが，

　　ｘ＝０，１−１／ｋ

が固定点であることがわかっているので，２次方程式に簡略化される．

　残りの２根は

　　｛（ｋ＋１）±｛（ｋ＋３）（ｋ＋１）｝^1/2｝／２ｋ

したがって，ｋ＞３ならば実根となり，２周期軌道が存在することがわかる．

　ｋ＝３において，２根は一致（ｘ＝１−１／ｋ＝２／３）する．逆に，ｋ＜３ならば２周期軌道は存在しないことを意味する．

　この２周期軌道は３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）．すなわち，安定であることが以下のようにして示される．

　　｛（ｋ＋１）±｛（ｋ＋３）（ｋ＋１）｝^1/2｝／２ｋ

の２根をｐ，ｑとおく．

　　ｆ^2（ｘ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＝ｋ^2ｘ（１−ｘ）（１−ｋｘ（１−ｘ））

をｘで微分すると

　　λ＝ｆ’（ｆ（ｘ））ｆ（ｘ）

　ｐの分岐とｑの分岐が同時に起こるとすると

　　ｆ’（ｆ（ｐ））ｆ（ｐ）＝ｆ’（ｆ（ｑ））ｆ（ｑ）

　λ＝ｋ（１−２ｐ）ｋ（１−２ｑ）

＝ｋ^2（１−２（ｐ＋ｑ）＋４ｐｑ）

＝４＋２ｋ−ｋ^2

　よって，２周期軌道は

｜４＋２ｋ−ｋ^2｜＜１→３＜ｋ＜１＋√６において安定である．

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［１］ｋ＝２．５のとき，０．６に落ちつく．

　　ｆ（０．６）＝２．５×０．６（１−０．６）＝０．６

　　２．５ｘ（１−ｘ）＝ｘ→ｘ＝０．６

［２］ｋ＝２．８のとき，０．６４２８５７に落ちつく

　　２．８ｘ（１−ｘ）＝ｘ→ｘ＝０．６４２８５７

［３］ｋ＝３．２のとき，

　　ｓ＝０．７９９４５５とｔ＝０．５１３０４５５の２つの値の間を振動する，すなわち，

　　ｆ（ｓ）＝ｔ，ｆ（ｔ）＝ｓ

［４］ｋ＝３．５２のとき，４つの値の間を振動する，

［５］ｋ＝３．９のとき，きれいなパターンに落ちつくことはない

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