ここではｎの素数による約数だけを考えて、ｎの大きさが与えられたとき、

素因数はいくつあるか

異なる素因数はいくつあるか(同じ素因数が繰り返し現れるのを別の因数として数える)

を考える。

ω(n)=ln(lnn)+0.2614

Ω(n)=ln(lnn)+1.0346

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ1/n^2=π^2/20 (Ω(n)odd)

Σ(-1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^-1

Σ(+1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^+1

Σ2^ω(n)/n^2=21/20 (Ω(n)odd)

が得られる

なお、Π(p^2+1)/(p^2-1)=5/2

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Σφ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)

Σφk(n)/n^s=ζ(s-k)/ζ(s)

Σ(-1)^Ω(n)/n^s=ζ(2s)/ζ(s)

Σ2^ω(n)/n^s=ζ^2(s)/ζ(2s)

s=2のとき、ζ(4)=π^4/90,ζ(2)=π^2/6

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ2^ω(n)/n^2=90/36=5/2

Σ2^ω(n)/n^2=50/21 (Ω(n)even)

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ω(n)=ln(lnn)+0.2614

Ω(n)=ln(lnn)+1.0346は

Σ(1/2pi^2+1/3pi^3+・・・)や

Σ1/pi(pi-1)=Σ(1/pi^2+1/pi^3+1/pi^4+・・・)

の計算を行って得られたものである。

ところで、

Π(p^2+1)/(p^2-1)=5/2

は一見不合理に見えるかもしれない。しかし、無限積は確かに5/2に等しいのである。

Π(p^2+1)/(p^2-1)=Π(p^4-1)/(p^2-1)^2

=Π(1-1/p^4)/(1-1/p^2)^2

=Π(1+1/p^2+1/p^4+・・・)^2/Π(1+1/p^4+1/p^8+・・・)

=(Σ1/n^2)^2/(Σ1/n^4)

=(π^2/6)^6/(π^4/90)=5/2

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また、これより、

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ1/n^2=π^2/20 (Ω(n)odd)

Σ(-1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^-1

Σ(+1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^+1

Σ2^ω(n)/n^2=21/20 (Ω(n)odd)

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ2^ω(n)/n^2=90/36=5/2

Σ2^ω(n)/n^2=50/21 (Ω(n)even)

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