k>1のとき、

μ(p^k)=0

1-1/p^s=1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・

1/ζ(s)=Π(1-1/p^s)=Π(=1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・）

これより

Σμ(n)/n^s=1/ζ(s)

s=2のとき、Σμ(n)/n^2=6/π^2

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同様に

Σ|μ(n)|/n^s=ζ(s)/ζ(2s)

Σd(n)/n^s=ζ^2(s)

Σln(n)/n^s=-ζ'(s)

Σ(ln(n))^2/n^s=ζ"(s)

ΣΛ(n)/n^s=ζ'(s)/ζ(s)

Σφ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)

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ここではｎの素数による約数だけを考えて、ｎの大きさが与えられたとき、

素因数はいくつあるか

異なる素因数はいくつあるか(同じ素因数が繰り返し現れるのを別の因数として数える)

を考える。

ω(n)=ln(lnn)+0.2614

Ω(n)=ln(lnn)+1.0346

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ1/n^2=π^2/20 (Ω(n)odd)

Σ(-1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^-1

Σ(+1)^Ω(n)/n^2・2^ω(n)=(5/2)^+1

Σ2^ω(n)/n^2=21/20 (Ω(n)odd)

が得られる

なお、Π(p^2+1)/(p^2-1)=5/2

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Σφ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)

Σφk(n)/n^s=ζ(s-k)/ζ(s)

Σ(-1)^Ω(n)/n^s=ζ(2s)/ζ(s)

Σ2^ω(n)/n^s=ζ^2(s)/ζ(2s)

s=2のとき、ζ(4)=π^4/90,ζ(2)=π^2/6

Σ(-1)^Ω(n)/n^2=π^2/15

Σ2^ω(n)/n^2=90/36=5/2

Σ2^ω(n)/n^2=50/21 (Ω(n)even)

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