z^n-1=(z-1)(z^n-1+z^n-2+・・・+1)=0

ｎは素数かつｎ-1は2のベキ乗の両方の条件を満たさなければならない。

これはフェルマー素数によってのみ満たされる。

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z^2-1=0

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)=0→フェルマー素数かつ2次方程式

z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=0→2次方程式

z^5-1=0→フェルマー素数→z^4+z^3+z^2+z+1=0は2次方程式に帰着できる。

z^6-1=0→(z^2)^3-1=0→n=6ではn=3に対する角度を求めて、それを2等分すればよい。→さらに2等分するとn=12,24,48,・・・の場合が解ける。

z^7-1=0→7はフェルマー素数ではないかつ6は2のベキ乗ではない

z^8-1=0→(z^2)^4-1=0→n=8ではn=4に対する角度を求めて、それを2等分すればよい。→さらに2等分するとn=16,32,64・・・の場合が解ける。

z^9-1=0→(z^3)^3-1=0→8は2のベキ乗であるが、9はあいにく合成数である。3乗根を幾何学的に解くのは無理である。

z^10-1=0→(z^2)^5-1=0→n=10ではn=5に対する角度を求めて、それを2等分すればよい。→さらに2等分するとn=20,40,80・・・の場合が解ける。

z^11-1=0→7はフェルマー素数ではないかつ10は2のベキ乗ではない

z^13-1=0→13はフェルマー素数ではないかつ12は2のベキ乗ではない

z^15-1=0→15=3・5は2つの異なるフェルマー素数の積である。→n=51,85,355・・・の場合が解ける。

z^17-1=0→フェルマー素数かつ16は2のベキ乗である

z^257-1=0→フェルマー素数かつ256は2のベキ乗である

z^65567-1=0→フェルマー素数かつ65536は2のベキ乗である

z^(2^32+1)-1=0→2^32は合成数である

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フェルマー素数は,簡単で自明な漸化式

Fn+1=(Fn-1)^2+1

Fn+1-2=Fn(Fn-2)

を満たしている。

これより、

Fn-2=F0F1・・・Fn-1

すなわち、Fn-2はそれよりちいさいすべてのフェルマー数で割り切れる。

→すべてのフェルマー数は互いに素であることが証明される。

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F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537

ガウスは

　　N＝2^kΠFn

のときだけ正N角形が描けることを証明した。

積は異なるフェルマー素数について求めるので、

N=3,5,17,・・・3・5・17・257・65537角形まで

2＾5-1=31通りの奇数角形が幾何学的に描けることになる。

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