双子素数(x,x+2)の確率密度は1/(logx)^2に比例する。

(x,x+2,x+4)という形の三つ子素数は(3,5,7)以外にはない。その中のひとつは常に3で割り切れるからである。

一方、(x,x+2,x+6)あるいは(x,x+4x+6)の形の三つ子素数は1/(logx)^2に比例するだろうか？

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（ラフプロット）素数定理によりｘ近辺の数が素数である確率はおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

である．ｘ＋２が素数である確率もおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

となるから，これらが双子素数となる確率はおよそ

　　１／（ｌｏｇｘ）^2

したがって，ｘ以下の双子素数の組の数はおよそ

　　ｘ／（ｌｏｇｘ）^2

となる．

　それではＣは何を意味しているのだろうか？　じつはｘとｘ＋２が素数となる確率は独立していないので，上の議論を修正しなければならない．そのための補正項がＣとなるのである．

任意に選んだ２数がともにｐで割り切れない確率は（１−１／ｐ）^2であるが，２つの数（ｐ，ｐ＋２）は差が２なので，両方ともｐで割り切れない確率は（１−２／ｐ）である．よって，奇素数ｐに対しては係数

　　（１−２／ｐ）／（１−１／ｐ）^2＝ｐ（ｐ−２）／（ｐ−１）^2

＝１−１／（ｐ−１）^2

素数２に対しては２をかけて補正を行う必要がある．そのための補正係数が双子素数係数

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・

というわけである．

この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．

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