■2乗で割り切れない整数

 2つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は1/ζ(2)=6/π2 (61%)となることを、ここで解説することにします。

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 1つの数が素数pi によって割り切れる確率は1/pi 、割り切れない確率は1−1/pi 。

(ひとつの数が3と7の諜報で割り切れる確率は1/21)

両方の数が同じ素数で割り切れる確率は1/pi2になります。2つの数がどちらもpi で割り切れない確率は1−1/pi^2ですから、互いに素である確率はΠ(1−1/pi^2)。

2個のランラムに選んだ数が共通の素因数をもたない確率は

P=Π1/(1−1/pi^2 )である。

最初の6個の素数に対して

P=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/121)(1-1/169)=0.618

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ここでは、無限の範囲を考えるので,

Π1/(1−1/pi^2 )=Π(1+1/pi^2+1/pi^4+・・・)=Σ1/n^2 =ζ(2)

 したがって、2つの整数が互いに素である確率は1/ζ(2)=6/π2 (0.608)、同様にして3つの整数が互いに素である確率は1/ζ(3)=0.832、4つの整数が互いに素である確率は1/ζ(4)=90/π4 (0.9239)を得ることができます。

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一方、無作為に選んだ整数nが2乗で割り切れない確率は、1回より多く同じ素数piで割り切れないか、または割り切れても2回目は割り切れない確率であるから

(1−1/pi )+1/pi(1−1/pi )=(1−1/pi^2 )

すべての素数について積をとると6/π^2 (0.608)

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