２つの無作為に選んだ整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π2 （６１％）となることを、ここで解説することにします。

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　１つの数が素数ｐi によって割り切れる確率は１／ｐi 、割り切れない確率は１−１／ｐi 。

（ひとつの数が3と7の諜報で割り切れる確率は1/21）

両方の数が同じ素数で割り切れる確率は１／ｐi2になります。２つの数がどちらもｐi で割り切れない確率は１−１／ｐi^2ですから、互いに素である確率はΠ（１−１／ｐi^2）。

2個のランラムに選んだ数が共通の素因数をもたない確率は

P＝Π１／（１−１／ｐi^2 ）である。

最初の6個の素数に対して

P=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/121)(1-1/169)=0.618

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ここでは、無限の範囲を考えるので,

Π１／（１−１／ｐi^2 ）＝Π（１＋１／ｐi^2＋１／ｐi^4＋・・・）＝Σ１／ｎ^2 ＝ζ（２）

　したがって、２つの整数が互いに素である確率は１／ζ（２）＝６／π2 （０．６０８）、同様にして３つの整数が互いに素である確率は１／ζ（３）＝０．８３２、４つの整数が互いに素である確率は１／ζ（４）＝９０／π4 （０．９２３９）を得ることができます。

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一方、無作為に選んだ整数ｎが2乗で割り切れない確率は、1回より多く同じ素数ｐiで割り切れないか、または割り切れても2回目は割り切れない確率であるから

（１−１／ｐi ）+１／ｐi（１−１／ｐi ）＝（１−１／ｐi^2 ）

すべての素数について積をとると６／π^2 （０．６０８）

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