■フィボナッチ数の二項係数表現

【3】二項係数表現

 初項1,第2項1から始まるフィボナッチ数列

  1,1,2,3,5,8,・・・

の場合は,

  Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]

であるから,x^n−1に対応していて

  Fn=Π(k=1~[n/2]){1+4cos^2(kπ/n)}

となる.

 二項係数ととフィボナッチ数の間にもエレガントな関係がある.パスカルの三角形において,水平線上の値を合計すると2のベキが現れるが,対角線上の値を合計するとフィボナッチ数が現れるというものである.

  Fn=Σ(k=0~[n/2])(n−k,k)

[補]二項係数と2のベキの積和には3のベキが現れる.

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