［Ｑ］ａ＝２または３，ｐを素数とすれば

　　ｐ＝ｘ^2＋ａｙ^2

という形に表す仕方の数は，

　　ｚ^2＋ａ＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

の解の個数の半分に等しいことを証明せよ．

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［Ａ］もしｍがｍ＝ｘ^2＋ａｙ^2＝１の形に表現されているならば，ｘ＝ｚｙ（ｍｏｄ　ｍ）の解，ｚ＝ｚ0（ｍｏｄ　ｍ）はまたｚ^2＋ａ＝０（ｍｏｄ　ｍ）の解である．

　ｚ^2＋１＝０（ｍｏｄ　ｍ）の解がひとつわかったとして，それに対応する表示ｐ＝ｘ^2＋ａｙ^2をの形の少なくともひとつを見つけだそう．実際，τ＝√ｐとおけば

　　ｚ0／ｐ＝Ｐ／Ｑ＋θ／Ｑ√ｐ，

　　０≦Ｑ＜√ｐ，（Ｐ，Ｑ）＝１，｜θ｜＜１

のよう書ける．ゆえに，ｚ0Ｑ＝ｒ（ｍｏｄ　ｐ），｜ｒ｜＜√ｐ．

　さらに，ｚ^2＋ａ＝０（ｍｏｄ　ｐ）から従うように，

　　｜ｒ｜^2＋ａＱ^2＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）

このことと，０＜｜ｒ｜^2＋ａＱ^2＜（１＋ａ）ｐから，ａ＝２のときは

　　｜ｒ｜^2＋２Ｑ^2＝ｐまたは｜ｒ｜^2＋２Ｑ^2＝２ｐ

でなければならない．後者の場合には｜ｒ｜は偶数であって，

　　｜ｒ｜＝２ｒ1，ｐ＝Ｑ^2＋２ｒ1^2

となる．

　ａ＝３のときは

　　｜ｒ｜^2＋３Ｑ^2＝ｐまたは｜ｒ｜^2＋３Ｑ^2＝２ｐまたは｜ｒ｜^2＋３Ｑ^2＝３ｐ

でなければならない．しかし，第２の場合は４を法として左辺は４，右辺は２であるから不可能．第３の場合には｜ｒ｜は３の倍数であって，

　　｜ｒ｜＝３ｒ1，ｐ＝Ｑ^2＋３ｒ1^2

となる．

　　ｚ^2＋ａ＝０　　　（ｍｏｄ　ｍ）

の同一の解にｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ1^2＋ｙ1^2が対応したとすれば，ｘ＝ｘ1，ｙ＝ｙ1となることがわかる．もし，これらが相異なる解に対応するとすれば，ｘ＝ｚ0ｙ，ｘ1＝−ｚ0ｙ（ｍｏｄ　ｍ）からｘｙ1＋ｘ1ｙ＝０（ｍｏｄ　ｐ）となるが，これは０＜（ｘｙ1＋ｘ1ｙ）^2≦（ｘ^2＋ｙ^2）（ｘ1^2＋ｙ1^2）＜ｐ^2より不可能である．

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