ミンコフスキーは数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

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【１】ガウスの円問題

　原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．

　　Ｒ（１０）＝３１７　　　　　　　Ｒ（１００）＝３１４１７

　　Ｒ（２０）＝１２５７　　　　　　Ｒ（２００）＝１２５６２７

　　Ｒ（３０）＝２８２１　　　　　　Ｒ（３００）＝２８２６９７

　Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．

　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2　　　　　ｒ　　　Ｒ（ｒ）／ｒ^2

　　１０　　　３．１７　　　　　　　１００　　　３．１４１７

　　２０　　　３．１４２５　　　　　２００　　　３．１４０７２５

　　３０　　　３．１３４　　　　　　３００　　　３．１４１０７

　ガウスは

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ

を示したが，

　　｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k

となるｋの最小値を求める問題に一般化される．

　シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．

　ｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．

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