ある数Ｍ，Ｎの自分自身を除く約数の和が相手の数になる数を親和数と呼びます．２２０（＝２^2・５・１１）と２８４（＝２^2・７１）はその最小のペアです．

　　２２０＝１＋２＋４＋７１＋１４２

　　２８４＝１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋２２＋４４＋５５＋１１０

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【１】イブン・クッラの公式

　　ｐ＝３・２^n-1−１

　　ｑ＝２ｐ＋１

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　　ｎ＝２→（２２０，２８４）

　　ｎ＝４→（１７２９６，１８４１６）　　　（フェルマー）

　　ｎ＝７→（９３６３５８４，９４３７０５６）　　　（デカルト）

なお，この公式で小さい方は四面体数になる．

　この公式ですべての親和数を求められるわけにはない．その組み合わせのひとつにすぎないのである．（１１８４，１２１０）は２番目に小さい親和数，（２６２０，２９２４）は３番目の親和数，（５０２０，５５６４）は４番目の親和数であるが，この公式では見つけられない．

　（１２２８５，１４５９５），（１１７５２６５，１４３８９８３）は奇数の親和数．

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［証］

　　ｐｑ＜ｐｑ＋ｐ＋ｑ

　　ｐｑ＝ｐ（２ｐ＋１）＝（３・２^n-1−１）（３・２^n−１）

＝（３・２^n-1−１）（６・２^n-1−１）＝１８・２^2n-2−９・２^n-1＋１

　　Ｎ＝２^nｐｑ＝１８・２^3n-2−９・２^2n-1＋２^n

＝９／２・２^3n−９／２・２^2n＋２^n＝ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）／６

　ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）＝２７・２^3n−２７・２^2n＋６・２^n

　ｍ＝３・２^n

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