■完全数の仲間・親和数(その3)

 2^nの約数の和は

  1+2+4+・・・+2^n-1=2^n−1

となって,自分自身よりちょうど1だけ小さい.その意味で,2^nは概完全数である.

 すべての偶数の完全数は

  2^p-1(2^p−1)

で表される(ユークリッド). ただし,pおよび2^p−1が素数(メルセンス素数)でなければならない.

 2^p-1の自分自身を含む約数の和は

  1+2+4+・・・+2^p-2+2^p-1=2^p−1

 (2^p−1)の自分自身を含む約数の和は

  1+2^p−1=2^p

 したがって,2^p-1(2^p−1)の自分自身を含む約数の和は

  (1+2+4+・・・+2^p-2+2^p-1)(1+2^p−1)=2^p(2^p−1)

2^p-1(2^p−1)の自分自身を除く約数の和は

  2^p-1(2^p−1)

になるというわけである.

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【1】イブン・クッラの公式

  2^nabと2^ncは親和数のペアである.

   a=3・2^n−1(素数)

   b=3・2^n-1−1(素数)

   c=9・2^2n-1−1(素数)

 aの自分自身を含む約数の和は,3・2^n

 bの自分自身を含む約数の和は,3・2^n-1

 cの自分自身を含む約数の和は,9・2^2n-1

 2^nabの自分自身を含む約数の和は

  (1+2+4・・・+2^n)・3・2^n・3・2^n-1

 =(2^n+1−1)・9・2^2n-1

 2^nabの自分自身を除く約数の和は

  (2^n+1−1)・9・2^2n-1−2^n(3・2^n−1)(3・2^n-1−1)

 =(2^n+1−1)・9・2^2n-1−2^n{9・2^2n-1−3・2^n−3・2^n-1+1}

 =9・(2^3n−2^3n-1−2^2n-1)+2^n{3・2^n+3・2^n-1−1}

 =9・2^2n-1(2・2^n−2^n−1)+2^n{6・2^n-1+3・2^n-1−1}

 =9・2^2n-1(2^n−1)+2^n{9・2^n-1}−2^n

 =2^n{9・2^2n-1−1}=2^nc

 2^ncの自分自身を含む約数の和は

  (1+2+4・・・+2^n)・9・2^2n-1

 =(2^n+1−1)9・2^2n-1

 2^ncの自分自身を除く約数の和は

  (2^n+1−1)9・2^2n-1−2^n{9・2^2n-1−1}

 =9・2^3n−9・2^2n-1−9・2^3n-1+2^n

 =9・2^2n-1(2^n+1−2^n−1)+2^n

 =9・2^2n-1(2・2^n−2^n−1)+2^n

 =9・2^2n-1(2^n−1)+2^n

 =2^n(9・2^2n-1+1)−9・2^2n-1

 =2^n(9・2^2n-1+1)−6・2^2n-1−3・2^2n-1

 =2^n(9・2^2n-1+1)−3・2^2n−3・2^2n-1

 =2^n(9・2^2n-1−3・2^n−3・2^n-1+1)=2^nab

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