■完全数の仲間・親和数(その2)

 自然数Nの正の約数の和をσ(N)で表すことにします.k=2の場合が完全数ですが,

  σ(N)=kN

を満たす自然数をk倍完全数と呼ぶことにします.

  σ(120)=360=3・120

すなわち,3倍完全数です.3倍完全数は6個だけ知られています.

  120,672,423776,459818240,1476304896,31001180160

 1・2・3=6  (最小の完全数)

 4・5・6=120  (最小の3倍完全数)

 7・8・9=220+284  (最小の親和数の和)

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【1】イブン・クッラの公式

  p=3・2^n-1−1

  q=2p+1

  r=pq+p+q

がすべて素数ならば,M=2^npq,N=2^nrのペアは親和数になる.

  n=2→(220,284)

  n=4→(17296,18416)   (フェルマー)

  n=7→(9363584,9437056)   (デカルト)

なお,この公式で小さい方は四面体数

  n(n+1)(n+2)/6

になる.

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[証]

  pq<pq+p+q

  pq=p(2p+1)=(3・2^n-1−1)(3・2^n−1)

=(3・2^n-1−1)(6・2^n-1−1)=18・2^2n-2−9・2^n-1+1

  N=2^npq=18・2^3n-2−9・2^2n-1+2^n

=9/2・2^3n−9/2・2^2n+2^n=m(m−1)(m−2)/6

 m(m−1)(m−2)=27・2^3n−27・2^2n+6・2^n

 m=3・2^n

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