自然数Ｎの正の約数の和をσ（Ｎ）で表すことにします．ｋ＝２の場合が完全数ですが，

　　σ（Ｎ）＝ｋＮ

を満たす自然数をｋ倍完全数と呼ぶことにします．

　　σ（１２０）＝３６０＝３・１２０

すなわち，３倍完全数です．３倍完全数は６個だけ知られています．

　　１２０，６７２，４２３７７６，４５９８１８２４０，１４７６３０４８９６，３１００１１８０１６０

　１・２・３＝６　　（最小の完全数）

　４・５・６＝１２０　　（最小の３倍完全数）

　７・８・９＝２２０＋２８４　　（最小の親和数の和）

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【１】イブン・クッラの公式

　　ｐ＝３・２^n-1−１

　　ｑ＝２ｐ＋１

　　ｒ＝ｐｑ＋ｐ＋ｑ

がすべて素数ならば，Ｍ＝２^nｐｑ，Ｎ＝２^nｒのペアは親和数になる．

　　ｎ＝２→（２２０，２８４）

　　ｎ＝４→（１７２９６，１８４１６）　　　（フェルマー）

　　ｎ＝７→（９３６３５８４，９４３７０５６）　　　（デカルト）

なお，この公式で小さい方は四面体数

　　ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

になる．

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［証］

　　ｐｑ＜ｐｑ＋ｐ＋ｑ

　　ｐｑ＝ｐ（２ｐ＋１）＝（３・２^n-1−１）（３・２^n−１）

＝（３・２^n-1−１）（６・２^n-1−１）＝１８・２^2n-2−９・２^n-1＋１

　　Ｎ＝２^nｐｑ＝１８・２^3n-2−９・２^2n-1＋２^n

＝９／２・２^3n−９／２・２^2n＋２^n＝ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）／６

　ｍ（ｍ−１）（ｍ−２）＝２７・２^3n−２７・２^2n＋６・２^n

　ｍ＝３・２^n

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