■エジプト分数と準完全数(その2)

 11台の車のうち半分を長女に,1/4を次女に,1/6を三女に遺産相続させる.しかし,どのように分配すればよいかという問題がおきた.

 そこで,ある賢者が1台の車を貸し出しすることにした.12台の車のうち,長女が6台,次女が3台,三女が2台受け取り,車が1台残った・・・.

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 この問題でキーとなるのは

  1/2+1/4+1/6=11/12

である.このような合計が1とならない分数は他にもあり

  1/2+1/4+1/7=41/42

など.

 一般に

  1/a+1/b+1/c=(d−1)/d

  1/a+1/b+1/c+1/d=1

と書き直して(a,b,c,d)を見つけたい.

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 1−1/a−1/b=1/n

 1/c+1/d=1/n

に気づけば

 nc+nd=cd

 cd−cn−dn+n^2=n^2

 (c−n)(d−n)=n^2

となって,n^2の約数に対応することがわかる.

 解は

(a,b,c,d)=(2,3,7,42),(2,3,8,24)

(2,3,9,18),(2,3,12,12),(2,4,5,20)

(2,4,6,12),(2,4,8,8),(2,5,5,10)

(2,6,6,6),(3,3,4,12),(3,3,6,6)

(4,4,4,4)の12通り.

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