■約数関数のおおまかな上界と下界(その29)

 φ(x)=n

n=14は解xをもたない。

n=14,26,34,38,50,・・・と続く。

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n=14はいわゆる非トーションである。すなわち、φ(x)=14には絶対なりえない。(読者はこのことをしめすことができるだろうか?)

他の非トーションは26,34である。(非トーションになる数には一般にどのような条件があるのだろうか?)

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n=p1^α1・p2^α2・・・pk^αk  (p1<p2<・・・<pk)

φ(n)=n・(p1-1)/p1・(p2-1)/p2・・・(pk-1)/pk

n・(p1-1)・(p2-1)・・・(pk-1)=φ(n)・p1・p2・・・pk

φ(n)φ(p1-1)φ(p2-1)・・・φ(pk-1)=φ(φ(n))φ(p1)φ(p2)・・・φ(pk)

p1=2のとき,φ(p1-1)=1,φ(p1)=1

φ(n)φ(p2-1)・・・φ(pk-1)=φ(φ(n))φ(p2)・・・φ(pk)

φ(n)>=φ(φ(n))・2^(k-1)

p1>2のとき,φ(p1-1)<=(p1-1)/2,φ(p1)=p1-1

φ(n)φ(p1-1)φ(p2-1)・・・φ(pk-1)=φ(φ(n))φ(p1)φ(p2)・・・φ(pk)

φ(n)>=φ(φ(n))・2^(k)

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また、

φ(n)=p1^α1(1-1/p1)p2^α2(1-1/p2)・・・pk^αk(1-1/pk)

>=(p1-1)(p2-1)(・・・)(pk-1)

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φ(n)=34のとき、φ(φ(n))=34(1-1/2)(1-1/17)=16

[1]p1=2のときk=1または2

n=2^αのとき

φ(n)=2^(α-1)・(2-1)=2・17  (矛盾)

n=2^α・p^β

φ(n)=2^(α-1)・p^(β-1)・(β-1)=2・17

p=17,β=2,α=2→φ(578)=34とはならず矛盾

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[2]p1>2のとき、k=1

n=p^αとすると

φ(n)=p^(α-1)・(p-1)=2・17

p=17、p^(α-1)=17  (矛盾)

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