■約数関数のおおまかな上界と下界(その20)

Σμ(d)・1/d=1−Σ1/pi+Σ1/pipj-・・・=Π(1−1//pi)より、

  φ(n)/n=Π(1−1/pi)

  φ(n)=nΠ(1−1/pi)=n−Σn/pi+Σn/pipj-・・・

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ディリクレ級数

F(s)=Σf(n)/n^s)

に対して、f(n)が乗法的であれば

F(s)=Π(1+f(p)/p^s+f(p^2)/p^2s+・・・)=Π(1-f(p)/p^s)^(-1)

k>1のときμ(p^k)=0であるから

1-1/p^s=1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・

1/ζ(s)=Π(1-1/p^s)=Π(1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・)=Σμ(n)/n^s

となる。

s=2のとき、Σμ(n)/n^2=1/ζ(2)=6/π^2

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同様に

Σφ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)

が得られる。

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