■循環小数とアルティンの原始根予想(その13)

[2]ところで,なぜ1/7は長さ6の周期をもつのでしょうか?

(10^6−1)/7=142857

言い換えれば,フェルマーの小定理

  10^k=1   (mod7)

となる最小のkを探していることになりますが,これは位数の定義と同じであって,起こり得る最長の周期p−1は,10がpの原始根であるときに起こるというわけです.

  142857×7=999999

  142857=999999/7=(10^6−1)/7

=10^6/7−1/7

=10^6α−α   (α=1/7)

これは,αが循環小数

  1/7=0.142857142857・・・

であることを意味しています,

循環節142857を2つに分けて足すと

142+857=999

循環節142857を3つに分けて足すと

14+28+57=99

と9が並ぶ。

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1/7を5進数展開すると循環節は0,3,2,4,1,2

循環節032412を2つに分けて足すと

032+412=444 (5進数の足し算)

循環節032412を3つに分けて足すと

03+24+12=44 (5進数の足し算)

と4が並ぶ。

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