［３］σ（Ｎ）＝２Ｎ→完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ－１→概完全数

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ＋１→疑似完全数

　２のベキは概完全数になるが、このほかに概完全数が存在するかどうかはわかっていない。

概完全数は２のベキに限るというのが概完全数であるが、現代数学でも解決できない難問として有名である。

飯高茂先生は

　　　σ（Ｎ）＝２Ｎ－ｍ→平行移動ｍの完全数

と呼んでおられる。

ｍ＝0として得られた解はＮ＝２^eｑ、ｑ＝２^e-１（メルセンヌ素数)と書ける。

ｍ＝2として得られた解はＮ＝２^eｑ、ｑ＝２^e-１+２（フェルマー素数)と書ける。

さらに、ｍを完全数のマイナス2倍、ｍ＝-2k=-12,-56,-992,-16256,・・・とした場合を宇宙完全数と呼んでおられるようだ。

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［４］完全数を一般化する方向としてはいくつか考えられる．ひとつには，

　　ｋ倍完全数：σ（Ｎ）＝ｋＮ

［５］もうひとつには，「ａを底とする完全数」として，（ａ^p－１）／（ａ－１）が素数となるという条件をつけて

　　Ｎ＝ａ^p-1（ａ^p－１）／（ａ－１）とか・・・

　　Ｎ＝３^p-1（３^p－１）／２・・・３を底とする完全数

　　Ｎ＝４^p-1（４^p－１）／３・・・４を底とする完全数

　　Ｎ＝５^p-1（５^p－１）／４・・・４を底とする完全数

　だいぶ強引であるようにみえるかもしれないが，完全数

　　２^p－１はメルセンヌ素数

　　Ｎ＝２^p-1（２^p－１）＝２^p-1（２^p－１）

では

　　σ（２^e）＝２^e+1－１

が基本的な役割を果たしたので，

　　σ（３^e）＝（３^e+1－１）／２

　　２σ（３^e）＝（３^e+1－１）＝３・３^e－１

として，一般に

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ－１

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ

　　２σ（Ｎ）＝３・Ｎ＋１

りなる自然数Ｎは何かを問題にするのは自然な成り行きであろう．

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［６］超完全数

σ（σ（Ｎ））＝２Ｎを満たす数

Ｎを偶数と仮定すると,N=2^eとなり、ｑ＝２^e+1-1は素数となる。

σ（σ（Ｎ））＝２Ｎ＋１はメルセンヌ素数を解にもつ

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［７］ウルトラ完全数

σ（σ（σ（Ｎ）））＝４Ｎ－１を満たす数

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