完全数ならば

　　σ（Ｎ）＝２Ｎ

が成り立ちます．

　ユークリッドは「原論」の中で，ｑ＝２^n+1−１が素数ならば２^n（２^n+1−１）は完全数であることを示しました．

　また，Ｎの末尾は６か８になるのも完全数のもつ性質のひとつです．たとえば，

　　σ（６）＝１＋２＋３＋６＝１２＝２・６

　　σ（２８）＝１＋２＋４＋７＋１４＋２８＝５６＝２・２８

　　σ（４９６）＝（１＋２＋２^2＋２^3＋２^4）（１＋３１）＝９９２＝２・４９６

　　σ（８１２８）＝２・８１２８と続きます．６と８は交互に来るわけではありません．

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　ａ＝２^eｑ，ｑ＝２^e+1−１

［１］ｅ＝０（ｍｏｄ４）ならばａ＝６（ｍｏｄ１０）

［２］ｅ＝２（ｍｏｄ４）ならばａ＝８（ｍｏｄ１０）

（証）２^4＝１　（ｍｏｄ５）より，

［１］ｅ＝４ｋ，ｑ＝２^4k+1−１＝１（ｍｏｄ５）

ｑ＝１＋５Ｌ，ｑは奇数なのでＬは偶数．ｑ＝１（ｍｏｄ１０）

ａ＝２^eｑ＝ｑ＝１（ｍｏｄ５）

ａ＝１＋５Ｌ，ａは偶数なのでＬは偶数．ａ＝６（ｍｏｄ１０）

［２］ｅ＝４ｋ＋１，ｑ＝２^4k+2−１＝（２^2k+1＋１）（２^2k+1−１）

ｑは素数なので，（２^2k+1−１）＝１，ｋ＝０，ｅ＝１，ｑ＝３，ａ＝６（例外的）

［３］ｅ＝４ｋ＋２，ｑ＝２^4k+3−１＝２（ｍｏｄ５）

ｑ＝２＋５Ｌ，ｑは奇数なのでＬは奇数．ｑ＝７（ｍｏｄ１０）

ａ＝２^eｑ＝−ｑ＝３（ｍｏｄ５）

ａ＝３＋５Ｌ，ａは偶数なのでＬは奇数．ａ＝８（ｍｏｄ１０）

［４］ｅ＝４ｋ＋３，ｑ＝２^4k+4−１＝０（ｍｏｄ５）

ｑは素数なのでｑ＝５

ｑ＝２^e+1−１＝５は矛盾

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　これで，

［１］ｅ＝０（ｍｏｄ４）ならばｑ＝１（ｍｏｄ１０），ａ＝６（ｍｏｄ１０）

［２］ｅ＝２（ｍｏｄ４）ならばｑ＝７（ｍｏｄ１０），ａ＝８（ｍｏｄ１０）

が証明されたことになる．

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