■完全数の一般化(その1)

 完全数Nは

  σ(N)=2N

を満たす数として定義される.

 偶完全数Nは

  N=2^p-1(2^p−1),M=2^p−1はメルセンヌ素数

と書くことができる.

  p=2,3,5,7,13,17,19,・・・,74207281

  N=6,28,496,・・・,2^74207280(2^74207281−1)

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 完全数を一般化する方向としてはいくつか考えられる.ひとつには,

  k倍完全数:σ(N)=kN

 もうひとつには,2^p−1はメルセンヌ素数

  N=2^p-1(2^p−1)=2^p(2^p−1)/2

より,aを底とする完全数として,N=a^p-1(a^p−1)とか・・・

 しかし,a=3とすると,(3^p−1)が2の倍数となるので,(3^p−1)/2が素数となるという条件をつけて

  N=3^p-1(3^p−1)/2

  N=4^p-1(4^p−1)/3

  N=5^p-1(5^p−1)/4

  N=a^p-1(a^p−1)/(a−1)

  ・・・・・・・・・・・・・とか.だいぶ強引ではあるが,・・・

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