■循環小数とアルティンの原始根予想(その11)

[2]ところで,なぜ1/7は長さ6の周期をもつのでしょうか?

(10^6−1)/7=142857

言い換えれば,フェルマーの小定理

  10^k=1   (mod7)

となる最小のkを探していることになりますが,これは位数の定義と同じであって,起こり得る最長の周期p−1は,10がpの原始根であるときに起こるというわけです.

  142857×7=999999

  142857=999999/7=(10^6−1)/7

=10^6/7−1/7

=10^6α−α   (α=1/7)

これは,αが循環小数

  1/7=0.142857142857・・・

であることを意味しています,

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(10^6−1)がpで割れるとすれば

(10^6−1)=3^3・7・11・13・37

[1]p=3の循環節の長さは1

[2]p=7の循環節の長さは6

[3]p=11の循環節の長さは2

[4]p=13の循環節の長さは6→076923→27=3・9

[5]p=37の循環節の長さは3→027→9

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(10^5−1)がpで割れるとすれば

(10^5−1)=3^3・41・271

[1]p=3の循環節の長さは1

[2]p=41の循環節の長さは5→02439→27=2・9

[3]p=271の循環節の長さは5→00369→18=2・9

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