■循環小数とアルティンの原始根予想(その5)
[4]循環小数の2分割和
1/7=0.142857142857・・・
(循環節:142857の長さ6)
の循環節の長さは偶数であることに注目し2分して,それを足してみると
142+587=999
1/17=0.0588235294117647・・・
(循環節:0588235294117647の長さ16)
の場合は,
05882352+94117647=99999999
驚いたことに9が並びます.このように分母が7以上の10を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合,2分して足すと9が並ぶのです.
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[補]pqrを3桁の数とする.1000(999-pqr)+pqr=999(1000-pqr)の左辺は6桁の数で下3桁がpqr,上3桁が(999-pqr),3桁同士を加えると999になるものを表している。右辺は999の倍数であることを示している.147852のように999の倍数であれば,上3桁と下3桁を足せば999になることがわかる.
[補]6桁の数L=xyzwuvについて,Lが999で割り切れることとM=xyz,N=wuv,M+N=999はともに成り立つことを証明してみる.後者が成り立つとするとL=1000M+N=999M+(M+N)=999M+999=999(M+1)より、Lは999で割り切れる.前者が成り立つとき,L=999Aと書けるとするとL=1000A-A=1000(A-1)+999-(A-1)となって,M=A-1,N=999-(a-1),M+N=999となって,後者が成り立つ.
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分子は1に限らないことにして
3/7=0.428571428571・・・
(循環節:428571の長さ6)
の循環節を2分して,それを足してみると428+571=999でしたが,循環節を3分して,それを足してみると
42+85+71=198=99×2
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