完全数の問題は約数の和の問題であったが、ここでは約数の個数の問題を扱ってみたい。

平方数の約数の個数は奇数個であることがわかったが、奇数には４で割って1余るものと3余るものがある。

（その８）では予想がつかなかったので、

1＝１^4と書き換えることにした。

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N、約数、約数の個数

１，｛１｝、１

４，｛１，２，４｝、３

９．｛１，３，９｝、３

１６．｛１，２，４，８，１６｝、５

２５，｛１．５，２５｝、３

３６、｛１，２，３，４，６，９，１２，１８、３６｝９

[１]約数の個数を４で割って1余るもの

1＝１^4＝1^2・1^2

16=2^4＝2^2・2^2

36=2^2・3^2

[２]約数の個数を４で割って1余るもの

4=2^2

9=3^2

25=5^2

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約数の個数を４で割って1余るための必要十分条件は(重複を許して)偶数個の素数の平方数の積であることである。

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