■約数関数のおおまかな上界と下界(その5)

Σk=n(n+1)/2

Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

Σk^3=n^2(n+1)^2/4

より,

1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2

が成り立つ.

 以下,左辺と右辺から,いくつかの同じ数字を間引いたり,つけ加えても等式が成り立つ例を掲げる.たとえば

1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=(1+2+2+3+4+6)^2

=324

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 曲芸的にみえるかもしれないが,実は次の見事な等式が成り立つのである.

  Στ^3(d)=(Στ(d))^2

  τ(d)はdの約数の個数を表すものとする.

d,dの約数,τ(d)

1,(1},1

3,{1,3},2

5,{1,5},2

9,{1,3,9},3

15,{1,3,5,15},4

45,{1,3,5,9,15,45},6

であるから,d=45の約数の場合,

左辺=τ^3(1)+τ^3(3)+τ^3(5)+τ^3(9)+τ^3(15)+τ^3(45)

=1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=324

右辺={τ(1)+τ(3)+τ(5)+τ(9)+τ(15)+τ(45)}^2

=(1+2+2+3+4+6)^2=324

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 d=2^nの場合,

  Στ^3(d)=(Στ(d))^2

1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=(1+2+3+・・・+n)^2

になるので,ある意味,一般化になっているのである.

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