ラマヌジャン関数は楕円曲線の判別式と呼ばれ，ある整数が２４個の平方数の和として表される方法の数に関係している．ある数がｋ個の平方数の和として表されるとき，いくつの異なった方法でこれを表すことができるか？　たとえば，ｎが２４個の平方数の和として表されるとき，何通りの方法で２４個の平方数の和として表すことができるか？　たとえば，

［Ｑ］６を平方数の和に表す方法は何通りあるか？

［Ａ］１＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋４の２通り

と答えるのが普通であろう．しかし，０^2を許容し，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにすると，

［Ｑ］６を２４個の平方数の和に表す方法は何通りあるか？

［Ａ］ｒ（６）＝８６６２７７０

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ところで，

　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

［１］ｘ，ｙ，ｚ，ｗには負でない整数のみを許す

［２］ｘ，ｙ，ｚ，ｗには正，負，０のすべての整数を許す

という２つの立場がある．

［１］の立場をとると

　　（１＋ｘ＋ｘ^4＋ｘ^9＋・・・）^4

［２］の立場をとると，テータ関数

　　（１＋２ｘ＋２ｘ^4＋２ｘ^9＋・・・）^4

を適用することになる．

なお、ヤコビはテータ関数の研究から得られた深遠な恒等式を証明した。

(1+2x+2x^4+2x^9+2x^16+・・・)^2

=1+4(x/(1-x)-x^3/(1-x^3)+x^5/(1-x^5)-・・・)

任意の整数は４つの平方数の和で表される（ラグランジュの定理）では前者の立場をとっているが，後者の立場の数え方によりモジュラー形式の理論を用いることができるようになり，この難しい問題は楕円曲線とモジュラー形式の理論の発見に導いた．

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　１７２８で割る理由はできるため係数を簡単にするためであるが，

１７２８＝３・２４０＋２・５０４＝２^6・３^3

は２と３だけを含む素因数分解をもつ．一方，オイラーの分割数ｐ（ｎ）の合同式

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　（ｍｏｄ５）

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　（ｍｏｄ７）

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　（ｍｏｄ１１）

ここで関係している素数は１２より小さい１２を割らない素数であるが，２，３に等しくないという事実は楕円曲線の判別式Δが重み１２をもつことに関係している．

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保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以である．ワイルズによって証明されたフェルマーの最終定理の本質的な方法はモジュラー形式を用いたものであった．フェルマーの最終定理の別証明はまだ発見されていない．

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