(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

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　ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表しているのであって，これから

　　Σ(-1)^n･q^(n^2)=(q;q)∞/(-q;q)∞

　　Σq^(n(n+1)/2)=(q^2;q^2)∞/(q;q^2)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

などの恒等式が得られる．

　このうち，後６者のｑ恒等式

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)2k=1/(q;q^2)∞(q^4;q^20)∞(q^16;q^20)∞

　　Σq^(k(k+2))/(q;q)2k+1=1/(q;q^2)∞(q^8;q^20)∞(q^12;q^20)∞

　　Σq^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

　　Σ2q^(k^2)/(q;q)k(q;q)n-k=Σ(-1)^k･(1+q^k)q^{(5k^2-k)/2}/(q;q)n-k(q;q)n+k

はロジャース・ラマヌジャン恒等式と呼ばれるものの例である．

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　ロジャーズ・ラマヌジャンの第１恒等式は

　　Σq^(n^2)/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^n)=Π1/(1-q^(5k+1))(1-q^(5k+4))

1+q/(1-q)+q^4/(1-q)(1-q^2)+・・・+q^(m^2)/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)+・・・=Π1/(1-q)(1-q^6)・・・(1-q4)(1-q^9)・・・

　　Σq^(k^2)/(q;q)k=1/(q;q^5)∞(q^4;q^5)∞

第２恒等式は

　　Σq^(n^2+n)/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^n)=Π1/(1-q^(5k+2))(1-x^(5k+3))

1+q^2/(1-q)+q^6/(1-q)(1-q^2)+・・・+q^(m^2+m)/(1-q)(1-q^2)・・・(1-q^m)+・・・=Π1/(1-q^2)(1-q^7)・・・(1-q3)(1-q^8)・・・

　　Σq^(k(k+1))/(q;q)k=1/(q^2;q^5)∞(q^3;q^5)∞

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