■数の幾何学(その27)

【3】マルコフ方程式

マルコフ数は3元2次のディオファントス方程式

  x^2+y^2+z^2=3xyz

の解として現れることは前述したとおりであり,大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である.マルコフ方程式のすべての解を求める問題は,たとえば3元3次の方程式x^3+y^3+z^3=x+y+zの場合とは違って,x,y,zの各変数に関して2次式になっているので1つの解の中の数を使って別の解を作ることができます.

[1]z=xy/2・{3±(9−4/x^2−4/y^2)^1/2}

であり,1≦x≦y≦zとしても一般性は失われない.

(x,y)=(1,1)からスタートすると

  →z^2+2=3z→z=1,2→(1,1,1),(1,1,2)

(x,y)=(1,2)からスタートすると→z=1,5→(1,1,2),(1,2,5)

  (x,y)=(1,1)→z=1,2

  (x,y)=(1,2)→z=1,5

  (x,y)=(1,5)→z=2,13

  (x,y)=(2,5)→z=1,29

[2]一般に(a,b,c)からスタートすると

(a,c,3ac−b),a≦c≦3ac−b

(b,c,3bc−a),b≦c≦3bc−a

も解となる.すると(1,1,1)には親がいないことになる.

[3]すべての解は特異解(1,1,1),(1,1,2)から生成される.

[4](x,y,z)=(1,1,1),(2,1,1),(5,1,2),(13,1,5),(29,5,2),・・・はひとつの整数解が次の解を導き,特異解(1,1,1),(1,1,2)以外のすべての解はx,y,zの値が相異なります(x<y<z).

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 こうして,2次のディオファントス方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの解として現れる,

  1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,・・・

はマルコフ数と呼ばれます.ここで,

[1]1,2,5,13,34,89,233,610,1597,・・・はフィボナッチ数のひとつ置きの数列になっている.項比は

  φ^2=(3+√5)/2

に近づく.

[2]2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,1325,・・・は2乗和で表される数列である.

  2=1^2+1^2

  5=1^2+2^2

 13=2^2+3^2

 29=2^2+5^2

 34=3^2+5^2

 89=5^2+8^2

[3](a,b,c)がマルコフ解であるならば,3ac−b>0である.

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[Q](x,433,37666)がマルコフ解であるとき,xを求めよ.

[A]x^2+433^2+37666^2=3・433・37666xを解くのは大変である.そこで,・・・

  37666÷3・433=28.9

  37666÷3・433=28余り1294

  37666÷3・433=29不足5

 この29が求める解xとなる.

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