■数の幾何学(その25)

【1】ラグランジュ・スペクトル

|α−p/q|<1/λq^2

λ={√5,√8,√(221)/5,√(1517)/13,・・・}

そして,これらに対応する数とつきあわせると

  √5→(−1+√5)/2=[0:1,1,1,・・・]

  √8→(−1+√2)=[0:2,2,2,・・・]

  √(221)/5→(−9+√221)/14=[0:2,2,1,1,・・・]

  √(1517)/13→(−23+√1517)/38=[0:2,2,1,1,1,1,・・・]

[1](−1+√5)/2以外のすべての無理数αに対して,λ>√5として,

   |α−p/q|<1/λq^2

となる有理数p/qが無限個存在する.

[2](−1+√5)/2と(−1+√2)以外のすべての無理数αに対して,λ>√8として,

   |α−p/q|<1/λq^2

となる有理数p/qが無限個存在する.

[3](−1+√5)/2と(−1+√2)と(−9+√221)/14以外のすべての無理数αに対して,λ>√(221)/5として,

   |α−p/q|<1/λq^2

となる有理数p/qが無限個存在する.

[4](−1+√5)/2と(−1+√2)と(−9+√221)/14と(−23+√1517)/38以外のすべての無理数αに対して,λ>√(1517)/13として,

   |α−p/q|<1/λq^2

となる有理数p/qが無限個存在する.

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 マルコフ数の謎について,さらに続けるならば

  √(7865)/29→[0:2,2,2,2,1,1,・・・]

  √(2600)/17→[0:2,2,1,1,1,1,1,1,・・・]

  √(78285)/89→[0:2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,・・・]

  √(257045)/169→[0:2,2,2,2,2,2,1,1,・・・]

  √(84680)/97→[0:2,2,1,1,2,2,1,1,1,1,・・・]

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