【３】√３のディオファントス近似とペル方程式

ａn^2−３ｂn^2＝−１

は解をもちませんが，

ａn^2−３ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（２，１）であることから，√３に収束する分数列を構成すると

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

より

　　ａn+1＋√３ｂn+1＝（２＋√３）（ａn＋√３ｂn）

　　　　　　　　　　＝（２ａn＋３ｂn）＋√３（ａn＋２ｂn）

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると

　　ａn／ｂn→　√３

となります．

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実際に確かめてみましょう．

ａ1＝１，ｂ1＝１

　　ａn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋２ｂn

を繰り返す．

［Ｑ］このとき，ａn／ｂn→？

［Ａ］

　ａ1＝１，ｂ1＝１，ａ1／ｂ1＝１

　ａ2＝５，ｂ2＝３，ａ2／ｂ2＝１．６６６６６６６

　ａ3＝１９，ｂ3＝１１，ａ3／ｂ3＝１．７２７２７２９

　ａ4＝７１，ｂ4＝４１，ａ4／ｂ4＝１．７３１７０７３

　ａ5＝２６５，ｂ5＝１５３，ａ5／ｂ5＝１．７３２０２６１

　ａ6＝９８９，ｂ6＝５７１，ａ6／ｂ6＝１．７３２０４９

　ａn／ｂn→√３

別法では

（２＋√３）^2＝７＋４√３

　　（２＋√３）^3＝２６＋１５√３

　　（２＋√３）^4＝９７＋５６√３

　　（２＋√３）^5＝３６２＋２０９√３

　　（２＋√３）^6＝１３５１＋７８０√３より，

√３＜１３５１／７８０＜３６２／２０９<９７／５６＜２６／１５＜７／４

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［補］アルキメデスはπの近似値を

　　３・１０／７１＜π＜３・１０／７０

であることを示したが，√３の近似値も与えている．

　　１３５１／７８０＜√３＜２６５／１５３

　　２５・５１／５２＜１５√３＜２５・５０／５１

　これらは

　　１３５１^2−３・７８０^2＝＋１

　　２６５^2−３・１５３^2＝−２

を満たす．このことからアルキメデスはペル方程式を知っていたと考えられているが，ペル方程式ｘ^2−３ｙ^2＝１を解くのに用いられたのは以下のような再帰的方法だったと思われる．

　　１＝（ｘ＋√３ｙ）（ｘ−√３ｙ）

　　１^2＝（ｘ＋√３ｙ）^2（ｘ−√３ｙ）^2

　　　　＝｛ｘ^2＋３ｙ^2｝^2−３｛２ｘｙ｝^2

　したがって（ｘ0，ｙ0）が解ならば

　　（ｘ0^2＋３ｙ0^2，２ｘ0ｙ0）

も解となる．

　　（２，１）は解なので（７，４）も解．

　　（７，４）は解なので（９７，５６）も解．

これを続けると

　　２６５／１５３＜√３＜１３５１／７８０

が得られる．

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［補］ｘ^2−３ｙ^2＝−１は整数解をもたない．

（証）　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ（ｎ＋１）＋１＝８ｍ＋１

すなわち，奇数の平方を８で割ると１余ることになる．

　また，ｘ^2−３ｙ^2＝−１の（ｘ，ｙ）の奇偶は一致しない．

　　（奇，奇）→ｘ^2−３ｙ^2は偶数

　　（偶，偶）→ｘ^2−３ｙ^2は偶数

［１］（奇，偶）と仮定すると

　　ｘ^2を４で割ると１余る，−３ｙ^2を４で割ると割り切れる

　　ｘ^2−３ｙ^2を４で割ると１余る→右辺＝−１は不可能

［２］（偶，奇）と仮定すると

　　ｘ^2を４で割ると割り切れる，−３ｙ^2を４で割ると１余る

　　−３ｙ^2＝−３（８ｍ＋１）＝４（−６ｍ＋１）＋１

　　ｘ^2−３ｙ^2を４で割ると１余る→右辺＝−１は不可能

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