【６】ヤコビのテータ関数

ある数がｋ個の平方数の和として表されるとき，いくつの異なった方法でこれを表すことができるか？という問題を考えます．ただし，

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，０^2を許容し，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにする（・・・と，モジュラー形式の理論を用いることができる．）

　ｒk（ｎ）をｋ個の平方数の和としてｎを表す方法の個数とするとｒ4（４）＝２４．

また，ｒ2（０）は，０＝０^2＋０^2しかないからｒ2（０）＝１

　ｒ2（１）は，１＝（±１）^2＋０^2

すなわち，１＝１^2＋０^2＝０^2＋１^2＝（−１）^2＋０^2＝０^2＋（−１）^2より，ｒ2（１）＝４

　ｎが２４個の平方数の和として表されるとき，何通りの方法で２４個の平方数の和として表すことができるか？という問題ではｎ＝６の場合でも

ｒ24（６）＝８６６２７７０

　この難しい問題は母関数とモジュラー形式の理論の発見に導いた．　　この出発点となった考え方は，ｔ＝４の場合，

　　{Σq^(n^2)}^4=Σr(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．

そして，母関数を

　　Ｆk（ｘ）＝ｒk（０）＋ｒk（１）ｘ＋ｒk（２）ｘ^2＋ｒk（３）ｘ^3＋・・・

ヤコビのテータ関数を

　　θ（ｑ）＝Σｑ^m^2＝１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

とする．ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　ｑ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

は原点を中心として半径１の単位円板から原点を除いた穴あき単位円板上を動く．ｑ（ｚ＋１）＝ｑ（ｚ）

すなわち，周期１をもつという性質がある．

１次元格子で考えると，長さの2乗（ノルム）が０のベクトルが1個，ノルムが1のベクトルが2個，ノルムが４のベクトルが2個，ノルムが９のベクトルが2個と数えていけば，１次元格子のテータ関数は

１＋２ｑ＋２ｑ^4＋２ｑ^9＋・・・

であり，ｔ次元格子では

　　θ（ｑ）^t＝｛Σｑ^m^2｝^t＝Σｒt（ｎ）ｑ^n

２次元正方格子のテータ関数は

１＋４ｑ＋４ｑ^2＋４ｑ^4＋８ｑ^5＋・・・

３次元正方格子のテータ関数は

１＋６ｑ＋１２ｑ^2＋８ｑ^3＋６ｑ^4＋・・・

ｒ（ｎ）を求めるのに，ヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになりました．ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

２４個の平方の和に分解する仕方の数は

ｒ24（ｎ）＝１６σ11（ｎ）／６９１−１２８｛５１２τ（ｎ／２）＋（−１）^n２５９τ（ｎ）｝／６９１

〜１６σ11（ｎ）／６９１

と表すことができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝