【２】ピックの公式

ミンコフスキーの格子点定理を用いて，ピックは彼の興味深い定理を証明しました．ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものです．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式です．

　ところで，ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるでしょうか？　実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されています．（リーブ，１９５７）．

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