【３】ヘロンの公式とナポレオンの定理

　ヘロンの公式より、三角形の面積をＳとすると

　　（４Ｓ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

ナポレオンの定理では

外三角形の面積＝(√3)/24・(a^2+b^2+c^2)+S/2

24・外三角形の面積＝(√3)・(a^2+b^2+c^2)+12S

（24・外三角形の面積）^2＝3(a^2+b^2+c^2)^2+24√3・S(a^2+b^2+c^2)+144S^2

（24・外三角形の面積）^2＝3(a^2+b^2+c^2)^2+24√3・S(a^2+b^2+c^2)+9(２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4)

＝3(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+a^4+b^4+c^4)+9(２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4)+24√3・S(a^2+b^2+c^2)

=24(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(a^4+b^4+c^4)+24√3・S(a^2+b^2+c^2)

どうしてもこれ以上簡単な形にはならない。

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