【１】ｔａｎ１°の無理数性

京都大学の入試問題（２００６年）に

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

という問題が出題されているそうである．

［A］背理法で証明する，正接の加法定理

　　ｔａｎ（ｘ＋ｙ）＝（ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ）／（１−ｔａｎｘ・ｔａｎｙ）

において，ｔａｎｘとｔａｎｙの両者が有理数ならばｔａｎ（ｘ＋ｙ）も有理数である．

　ｔａｎ１°が有理数と仮定すると，ｔａｎ２°も有理数である．ｔａｎ２°が有理数と仮定すると，ｔａｎ３°も有理数である．この操作を繰り返すとｔａｎ３０°も有理数となるが，実際はｔａｎ３０°＝１／√３（無理数）であるから矛盾する．（もちろん，ｔａｎ６０°も有理数となるから矛盾であるとしてもよい．）

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［Ｑ］ｔａｎ１°は代数的数か？　超越数か？

［A］論法はいささか趣きが異なるが，数学的帰納法で証明する．

ｔａｎｔ°が整数係数の多項式ｆt（ｘ），ｇt（ｘ）を用いて，

　　ｔａｎｔ°＝ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°）

と表せるものとする．

　　ｔａｎ（ｔ＋１）°

＝（ｔａｎ１°＋ｔａｎｔ°）／（１−ｔａｎ１°・ｔａｎｔ°）

＝（ｔａｎ１°＋ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°））／（１−ｔａｎ１°・ｇt（ｔａｎ１°）／ｆt（ｔａｎ１°））

＝（ｔａｎ１°ｆt（ｔａｎ１°）＋ｇt（ｔａｎ１°））／（ｆt（ｔａｎ１°）−ｔａｎ１°ｇt（ｔａｎ１°））

　したがって，

　　ｆt+1（ｘ）＝ｆt（ｘ）−ｘｇt（ｘ）

　　ｇt+1（ｘ）＝ｘｆt（ｘ）＋ｇt（ｘ）

とおくことによって

　　ｔａｎ（ｔ＋１）°＝ｇt+1（ｔａｎ１°）／ｆt+1（ｔａｎ１°）

と表すことができる．

　数学的帰納法により

　　ｔａｎ４５°＝ｇ45（ｔａｎ１°）／ｆ45（ｔａｎ１°）＝１

であるから，ｔａｎ１°は整数係数の代数方程式

　　ｇ45（ｔａｎ１°）−ｆ45（ｔａｎ１°）＝０

の解となる．よって，ｔａｎ１°は代数的数である．

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　ｔａｎ３０°でもｔａｎ６０°でもいけない理由がおわかりいただけたであろうか．ｔａｎ４５°＝１の最小多項式は１次であるから，ｔ＝１のときはｆ1（ｘ）＝１，ｇ1（ｘ）＝ｘとすればよく，そうすれば

　　ｆt+1（ｘ）＝ｆt（ｘ）−ｘｇt（ｘ）

　　ｇt+1（ｘ）＝ｘｆt（ｘ）＋ｇt（ｘ）

よりｆ2（ｘ）は２次，ｇ2（ｘ）は１次，ｆ3（ｘ）は２次，ｇ3（ｘ）は３次となる．

　したがって，

　　ｇ45（ｘ）−ｆ45（ｘ）

の最小多項式は高々４５次，ｔａｎ１°は高々４５次の代数的数である．

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ｘ＝ｔａｎ１°，ｔａｎ４５°＝１（ローメンの問題）では、正接の加法公式が用いられている．

ｔ＝ｔａｎθとおくと，

ｔａｎ２θ＝２ｔ／（１−ｔ^2）

　　ｔａｎ３θ＝（３ｔ−ｔ^3）／（１−３ｔ）

　　ｔａｎ４θ＝（４ｔ−ｔ^3）／（１−６ｔ^2＋ｔ^4）

　　ｔａｎ５θ＝（５ｔ−１０ｔ^3＋ｔ^5）／（１−１０ｔ^2＋５ｔ^4）

　このように多項式ｐn（ｔ），ｑn（ｔ）を用いて

　　ｔａｎｎθ＝ｑn（ｔ）／ｐn（ｔ）

と表すことができる．正接のｎ倍角公式は，パスカルの三角形を用いて，次のように書くことができる．

ｔａｎ（ｎ＋１）α＝（ｔａｎα＋ｔａｎｎα）／（１−ｔａｎαｔａｎｎα）

ｔａｎｎα＝（nC1ｔａｎα−nC3ｔａｎ^3α＋nC5ｔａｎ^5α−・・・）／（nC0−nC2ｔａｎ^2α＋nC4ｔａｎ^4α−・・・）

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ｔａｎ４５°＝１であるが，

［Ｑ］ｔａｎａ°＝１／２，ｔａｎｂ°＝１／４となるａ，ｂは有理数だろうか？

［Ａ］ａもｂも無理数．

［証１］ａが有理数ならある整数ｎに対してｎａは３６０の倍数になる．また，ｎａは（２＋ｉ）^nの偏角で，（２＋ｉ）^nは実数．したがって，（２＋ｉ）^nは共約複素数（２−ｉ）^nに等しい．

　しかし，２＋ｉと２−ｉは５の異なるガウス素数であり，素因数分解の一意性に反する．

［証２］ｂが有理数ならある整数ｎに対してｎａは３６０の倍数になる．また，ｎａは（４＋ｉ）^nの偏角で，（４＋ｉ）^nは実数．したがって，（４＋ｉ）^nは共約複素数（４−ｉ）^nに等しい．

　しかし，４＋ｉと４−ｉは１７の異なるガウス素数であり，素因数分解の一意性に反する．

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