【１】三角形の面積を7等分するラウスの定理

［Ｑ］与えられた三角形の各辺を２：１に内分する点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の１／７であることを示せ．

［Ａ］３×３の格子を考える．もとの三角形の頂点を（１，０），（３，１），（０，３）に移す線形変換をφとする．線形変換で面積は変化するが面積比は変わらない．このとき，中の三角形は（１，１），（２，１），（１，２）に移される．ピックの公式により面積はそれぞれ７／２，１／２，従って面積比は７：１である．

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［Ｑ］各頂点からその対辺の3等分点を全部、合計6本の線で結ぶ。元の三角形は小三角形、小四角形、小五角形、小六角形に分割される。中央にある小六角形の面積は，もとの三角形の面積の何分の１だろうか？

この問題ではピックの公式は使えそうにない。

そこで、細矢治夫先生の計算を参考にして、わかっている点を中線上に配置する。二等辺三角形を仮定しても面積比は変わらない．

[1/3,3/5,2/3,3/4,1]

細矢治夫先生の計算では、３辺をそれぞれ、2:a:2に分割すると

x=a/(a+6),y=a/2(a+3)

3等分(a=2)では、x=1/4,y=1/5

5等分(a=6)では、x=1/2,y=1/3

したがって、3辺をそれぞれ1:3:1に分割すると

[1/5,5/9,4/5,5/6,1]、

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中線上で交差する交点を求めると、

(x-1/5):1/3=(5/9-x):5/9

5x/9-1/9=5/27-x/3

8x/9=8/27

x=1/3

(x-5/6):5/6=(1-x):5/3

5x/3-25/18=5/6-5x/6

15x/6=40/18

x=8/9

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さらに続けると

(1/3-x):x=(5/9-1/3):9/5

3/5-9x/5=2x/9

3/5=91x/45

x=27/91

(8/9-5/6):5/6=(x-8/9):x

5x/6-40/54=3x/54

42x/54=40/54

x=40/42=20/21

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[1/5,27/91,1/3,5/9,4/5,5/6,8/9,20/21,1]

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小四角形

1/3・27/91=9/91

小三角形

(27/91+5/9)・(5/9-27/91)=25/81-729/8281

-(1/3-27/91)・27/91=-9/91+729/8281

-(5/9-1/3)・5/9=-25/81+5/27

=5/27-9/91

小六角形

(5/9-1/3)・5/9=25/91-5/27

(5/9+5/6)・(5/6-5/9)=25/36-25/81

(8/9-5/6)・5/6=40/54-25/36

=20/27-5/27=15/27

小三角形

(5/6+20/21)・(20/21-5/6)=400/441-25/36

-(8/9-5/6)・5/6=-40/54+25/36

-(20/21-8/9)・20/21=-400/441+160/189

=160/189-40/54

小五角形

(20/21-8/9)・20/21=400/441-160/189

(20/21+1)・(1-20/21)=1-400/441

=1-160/189

合計20/27+1-20/27＝1

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したがって、小六角形は全体の15/27・3/5＝1/7

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　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｐ，Ｑ，Ｒとし，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作る三角形ＬＭＮを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ＝ＢＲ／ＲＡ

［Ｑ１］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

［ヒント］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

λ＝４、μ＝４，ν＝４、M=3/7

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