【１】三角形の面積を7等分するラウスの定理

［Ｑ］与えられた三角形の各辺を２：１に内分する点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の１／７であることを示せ．

［Ａ］３×３の格子を考える．もとの三角形の頂点を（１，０），（３，１），（０，３）に移す線形変換をφとする．線形変換で面積は変化するが面積比は変わらない．このとき，中の三角形は（１，１），（２，１），（１，２）に移される．ピックの公式により面積はそれぞれ７／２，１／２，従って面積比は７：１である．

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［Ｑ］各頂点からその対辺の3等分点を全部、合計6本の線で結ぶ。元の三角形は小三角形、小四角形、小五角形、小六角形に分割される。中央にある小六角形の面積は，もとの三角形の面積の何分の１だろうか？

この問題ではピックの公式は使えそうにない。

そこで、細矢治夫先生の計算を参考にして、わかっている点を中線上に配置する。二等辺三角形を仮定しても面積比は変わらない．

[1/3,3/5,2/3,3/4,1]

中線上で交差する交点を求めると、

(x-1/3):1=(3/5-x):3/5

3x/5-1/5=3/5-x

8x/5=4/5

x=1/2

(x-3/4):3/4=(1-x):3

3x-9/4=3/4-3x/4

15x/4=12/4

x=4/5

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さらに続けると

(1/2-x):x=(3/5-1/2):3/5

3/10-3x/5=x/10

3/10=7x/10

x=3/7

(4/5-3/4):3/4=(x-4/5):x

3x/4-3/5=x/20

14x/20=3/5

x=6/7

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[1/3,3/7,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,6/7,1]

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小四角形

1/2・3/7＝3/14

小三角形

(3/7+3/5)・(3/5-3/7)=9/25-9/49

-(1/2-3/7)・3/7=-3/14+9/49

-(3/5-1/2)・3/5=-9/25+3/10

=3/10-3/14

小六角形

(3/5-1/2)・3/5=9/25-3/10

(3/5+3/4)・(3/4-3/5)=9/16-9/25

(4/5-3/4)・3/4=3/5-9/16

=6/10-3/10=3/10

小三角形

(3/4+6/7)・(6/7-3/4)=36/49-9/16

-(4/5-3/4)・3/4=-3/5+9/16

-(6/7-4/5)・6/7=-36/49+24/35

=3/35

小五角形

(6/7-4/5)・6/7=36/49-24/35

(6/7+1)・(1-6/7)=1-36/49

=1-24/35

合計6/10+1-21/35＝1

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したがって、小六角形は全体の1/10

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　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｐ，Ｑ，Ｒとし，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作る三角形ＬＭＮを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ＝ＢＲ／ＲＡ

［Ｑ１］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

［ヒント］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって対頂点と結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν−１）^2／（λμ＋λ＋１）（μν＋μ＋１）（νλ＋ν＋１）

倍に等しくなる．

λ＝２、μ＝２，ν＝２、M=1/7

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