１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

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【１】六斜術

　「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

が成立します．

　一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和

　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

です．

（証）∠ＢＰＣ＝α，∠ＣＰＡ＝∠β，∠ＡＰＢ＝γとおく．このとき

　　ｃｏｓγ＝ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ

両辺を平方すると

　　ｃｏｓ^2α＋ｃｏｓ^2β＋ｃｏｓ^2γ＝２ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγ＋１

第２余弦定理より

　　ｃｏｓα＝（ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2）／２ｅｆ

　　ｃｏｓβ＝（ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2）／２ｆｄ

　　ｃｏｓγ＝（ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2）／２ｄｅ

を代入して整理すると当該の形になる．

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　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

において，ａ→ｄ，ｂ→ｄ，ｃ→ｄ，ｄ→ａ，ｅ→ｂ，ｆ→ｃと変数変換してみます．

　　ａ^2ｄ^2（ｄ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）

　＋ｂ^2ｄ^2（ｄ^2＋ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）

　＋ｃ^2ｄ^2（ｄ^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）

　＝ｄ^6＋ｄ^2ｂ^2ｃ^2＋ｄ^2ａ^2ｃ^2＋ｄ^2ａ^2ｂ^2

両辺をｄ^2で割って

　　ａ^2（ｄ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａ^2）

　＋ｂ^2（ｄ^2＋ｃ^2＋ａ^2−ｂ^2）

　＋ｃ^2（ｄ^2＋ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）

　＝ｄ^4＋ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｂ^2

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＝ａ^2（ｄ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＋ｂ^2（ｄ^2＋ｃ^2＋ａ^2）＋ｃ^2（ｄ^2＋ａ^2＋ｂ^2）−ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｃ^2−ａ^2ｂ^2

＝ａ^2（ｄ^2＋ｂ^2）＋ｂ^2（ｄ^2＋ｃ^2）＋ｃ^2（ｄ^2＋ａ^2）

＝ｄ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＋ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｂ^2

　一方，

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2＝ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4＋２ｄ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）＋２（ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｂ^2）

したがって，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

　答えを知っているから簡単に求められたが，知らなかったら結構骨の折れる計算であろう．

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