【Ｑ】正三角形を直線によって面積を２等分するとき，その包絡線はどのような曲線を描くか？

（Ａ）包絡線の求め方を説明しよう．曲線：ｙ＝ｆ（ｘ，θ）において，パラメータθが動くとき，θとθ＋Δθに対応する２本の隣り合った曲線を考えると，その交点はΔθ→０の極限で包絡線上の点となる．

　ｘを固定するとき，この交点のｙ座標はパラメータθが変わっても変化しないことで特徴づけられるから，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　θ＝ｇ（ｘ）

を求め，元の方程式に代入すると包絡線の方程式

　　ｙ＝ｆ（ｘ，ｇ（ｘ））

が得られる．

　△ＡＢＣにおいて，Ａ（０，√３），Ｂ（−１，０），Ｃ（１，０）とする．

点Ｐがｘ軸上を点Ｂから原点に向かって進むとき，点Ｐは

　　（ｔ，０）　　−１≦ｔ≦０

とパラメトライズされる．

　このとき，正３角形の面積の２等分線のもう一方の端点Ｑ（ｘ0，ｙ0）は辺ＡＣ上にあり，

　　ｙ0＝−√３ｘ0＋√３

　また，直線ＰＱの方程式を

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｔ），ｍ＝ｙ0／（ｘ0−ｔ）

とする．面積の２等分線であることより

　　（１−ｔ）ｙ0＝√３

以上より，この直線の方程式は

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｔ），ｍ＝√３／（ｔ^2−２ｔ）

となる．

　　∂ｙ／∂ｔ＝０　→　ｔ^2−２ｘｔ＋２ｘ＝０

　　ｔ＝ｘ−（ｘ^2−２ｘ）^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もとの式を

　　（ｔ^2−２ｔ）ｙ−√３（ｘ−ｔ）＝０

の形にして，ｔで偏微分した式

　　２（ｔ−１）ｙ＋√３＝０

と連立してｔを消去して，ｘとｙだけの関係式に整理すると，

　　３−４ｙ^2＝√３（４ｘｙ−４ｙ＋２√３）

これは双曲線を表す．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝