【１】問題

　三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｐ，Ｑ，Ｒとし，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作る三角形ＬＭＮを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＰ／ＰＢ＝ＡＱ／ＱＣ＝ＢＲ／ＲＡ

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．ＡＰ，ＢＱ，ＣＲの２本ずつの交点が作るＬ，Ｍ，Ｎの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＱＬ／ＬＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【２】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＱ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＬ＝１／（１＋λ）／ＢＱ

　　ＭＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＱ

　　ＰＭ＝ＢＱ−１／（１＋λ）／ＢＱ−１／（１＋λ）^2／ＢＱ

　　ＥＬ＝ＢＱ−１／（１＋λ）／ＢＱ

　　ＱＬ／ＬＢ＝（１＋λ）ＢＱ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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【３】一般化

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが，一般の三角形の場合には成り立たないのだろうか？

　たとえば，λ＝１（中線）のとき，ＱＬ／ＬＢ＝１／２（重心）というわけである．これが成り立つとすると，縮小三角形の問題

［Ｑ］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

は（重心座標を用いずとも）ベクトルで解けると思われる．

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