【２】ピックの公式

ミンコフスキーの格子点定理を用いて，ピックは彼の興味深い定理を証明しました．ピックの公式（１８９９年）とは，任意の格子多角形の面積が以下の式で表されるというものです．

　　Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１

　　　Ａ：格子多角形の面積

　　　Ｉ：内部の点の個数

　　　Ｂ：境界線上の点の個数

すなわち，格子点平面の折れ線で囲まれた面積は（凸であれ凹であれ）格子点の数で表せるという「格子の幾何学」の美しい公式です．

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[Q]各辺の長さが√5、√5、√2の二等辺三角形の面積を求めよ。

[A]ヘロンの公式を用いるとs=√5+1/√2,S=3/2

[A]２×２の格子を考える．三角形の頂点を（０，１），（１，２），（２，０）にとることができる。

I=1,B=3→S=3/2

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[Q]各辺の長さが√10、√8、√2の三角形の面積を求めよ。

[A]３×２の格子を考える．三角形の頂点を（０，２），（２，０），（３，１）にとることができる。

I=1,B=4→S=2

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[Q]各辺の長さが√13、√10、√5の二等辺三角形の面積を求めよ。

[A]３×３の格子を考える．三角形の頂点を（０，０），（２，３），（３，１）にとることができる。

I=3,B=3→S=7/2

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