１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝５７ｃｍ，ｂ＝６５ｃｍ，ｃ＝７３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

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　ａ，ｂ，ｃは等差数列になっている．

　　ａ＝ｂ−ｅ，ｂ，ｃ＝ｂ＋ｅ

　　ａ^2＝（ｂ−ｅ）^2，ａ^4＝（ｂ−ｅ）^4

　　ｃ^2＝（ｂ＋ｅ）^2，ｃ^4＝（ｂ＋ｅ）^4

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３ｂ^2＋２ｅ^2

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4

　　３（３ｂ^4＋１２ｂ^2ｅ^2＋２ｅ^4＋ｄ^4）＝（３ｂ^2＋２ｅ^2＋ｄ^2）^2＝ｄ^4＋２（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2

　　ｄ^4−（３ｂ^2＋２ｅ^2）ｄ^2＋１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2＝０

　　Ｄ＝（３ｂ^2＋２ｅ^2）^2−４（１２ｂ^2ｅ^2＋ｅ^2）＝９ｂ^4−３６ｂ^2ｅ^2＝９ｂ^2（ｂ^2−４ｅ^2）

　計算しやすいようにするためには

　　ｂ^2−４ｅ^2＝ｆ^2，ｂ^2＝（２ｅ）^2＋ｆ^2

　そのため，２ｅ＝６，ｆ＝８，ｂ＝１０

　　ｂ＝１０，ｅ＝３→ａ＝７，ｂ＝１０，ｃ＝１３

が選ばれているが，２ｅ＝４，ｆ＝３，ｂ＝５とすれば，

　　ｂ＝５，ｅ＝２→ａ＝３，ｂ＝５，ｃ＝７

２ｅ＝１２，ｆ＝５，ｂ＝１３とすれば，

　　ｂ＝１３，ｅ＝６→ａ＝７，ｂ＝１３，ｃ＝１９

でもよいことになる．

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　２ｅ＝１６，ｂ＝６５，ｆ＝６３→ａ＝５７，ｂ＝６３，ｃ＝７１

　Ｄ^1/2＝３ｂｆ＝３・６５・６３＝１２２８５

　ｄ＝１１２

となって，１辺の長さ１１２の正三角形が３つの整数三角形（５７，６５，１１２），（５７，７３，１１２），（６５，７３，１１２）に分解されたことになる．

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