■整数三角形(その52)

 アイゼンシュタイン三角形(a,b,c)の最短辺に正三角形を貼り付けた三角形を考えると,

 (3,5,7)の場合→(3,8,7)になるが,

  7^2=3^2+8^2−2・3・8・cos60°=9+64−24=49

になり,これもナゴヤ三角形である.

 したがって,(a,b,c)の場合

→(a+b,b,c),(a,a+b,c)

になる.

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 0<n<mなる互いに素な整数m,nにより,

  {a,b}={m^2−n^2,2mn+n^2}

  c=m^2+mn+n^2,s=m^2+2mn

  a^2−ab+b^2=c^2

の形に直すためには,

  s^2−sa+a^2=s^2−sb+b^2=c^2

s→aまたはbとすればよいから,

 0<n<mなる互いに素な整数m,nにより,

  c=m^2+mn+n^2,a=m^2+2mn,b=m^2−n^2

  c=m^2+mn+n^2,b=m^2+2mn,a=m^2−n^2

  (m^2+mn+n^2)^2=m^4+2m^3n+3m^2n^2+2mn^3+n^4

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